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沃尔什矩阵

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16阶的沃尔什矩阵与一个向量相乘
自然序的阿达玛矩阵排列成单调变化的阿达玛矩阵。自然序矩阵中每行符号变化的次数为(0、15、7、8、3、12、4、11、1、14、6、9、2、13、5、10),但是在单调顺序矩阵中,符号变化的次数是单调的
沃尔什矩阵出现在损坏的TIFF图像中

沃尔什矩阵(英語:Walsh matrix)是一个维度为的方阵,其中n为自然数。该矩阵由-1和1组成,其所有的行与列都两两正交,即点积为0。这一概念由美国数学家约瑟夫·L·沃尔什于1923年提出,故而得名。[1]在沃尔什矩阵中,每一行都和一个沃尔什函数相对应。

沃尔什矩阵可视为阿达马矩阵的一个特例,自然有序的阿达马矩阵是由递归公式定义的,序列有序的阿达马矩阵是通过重新排列行来形成的,这样一行中的符号变化数就是递增的。[1]

沃尔什矩阵用于计算沃尔什变换,在信号处理操作中的有实际应用。

公式

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维度为(其中)的阿达马矩阵可由递推的方式进行定义:

一般而言

其中,⊗代表克罗内克积

排列

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根据符号变化的次数对所有的行进行重新排列。例如:

每行分别有0、3、1、2次符号变化,因此,我们对这些行进行重排:

这样,每行都有0、1、2、3次符号变化。

沃尔什矩阵的替代形式

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顺序排序

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沃尔什矩阵的行顺序可以通过阿达马矩阵首先经过位序顛倒排列,然后经过格雷码排列得到:[2]

其中每行分别有0、1、2、3、4、5、6、7次符号改变。

参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 Kanjilal, P. P. Adaptive Prediction and Predictive Control. Stevenage: IET. 1995: 210 [2022-03-29]. ISBN 0-86341-193-2. (原始内容存档于2022-03-29). 
  2. ^ Yuen, C.-K. Remarks on the Ordering of Walsh Functions. IEEE Transactions on Computers. 1972, 21 (12): 1452. doi:10.1109/T-C.1972.223524.