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沃爾什矩陣

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16階的沃爾什矩陣與一個向量相乘
自然序的阿達瑪矩陣排列成單調變化的阿達瑪矩陣。自然序矩陣中每行符號變化的次數為(0、15、7、8、3、12、4、11、1、14、6、9、2、13、5、10),但是在單調順序矩陣中,符號變化的次數是單調的
沃爾什矩陣出現在損壞的TIFF圖像中

沃爾什矩陣(英語:Walsh matrix)是一個維度為的方陣,其中n為自然數。該矩陣由-1和1組成,其所有的行與列都兩兩正交,即點積為0。這一概念由美國數學家約瑟夫·L·沃爾什於1923年提出,故而得名。[1]在沃爾什矩陣中,每一行都和一個沃爾什函數相對應。

沃爾什矩陣可視為阿達馬矩陣的一個特例,自然有序的阿達馬矩陣是由遞歸公式定義的,序列有序的阿達馬矩陣是通過重新排列行來形成的,這樣一行中的符號變化數就是遞增的。[1]

沃爾什矩陣用於計算沃爾什變換,在信號處理操作中的有實際應用。

公式

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維度為(其中)的阿達馬矩陣可由遞推的方式進行定義:

一般而言

其中,⊗代表克羅內克積

排列

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根據符號變化的次數對所有的行進行重新排列。例如:

每行分別有0、3、1、2次符號變化,因此,我們對這些行進行重排:

這樣,每行都有0、1、2、3次符號變化。

沃爾什矩陣的替代形式

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順序排序

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沃爾什矩陣的行順序可以通過阿達馬矩陣首先經過位序顛倒排列,然後經過格雷碼排列得到:[2]

其中每行分別有0、1、2、3、4、5、6、7次符號改變。

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 Kanjilal, P. P. Adaptive Prediction and Predictive Control. Stevenage: IET. 1995: 210 [2022-03-29]. ISBN 0-86341-193-2. (原始內容存檔於2022-03-29). 
  2. ^ Yuen, C.-K. Remarks on the Ordering of Walsh Functions. IEEE Transactions on Computers. 1972, 21 (12): 1452. doi:10.1109/T-C.1972.223524.