一元二次方程式是只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。
例如,
,
,
等都是一元二次方程。
一元二次方程式的一般形式是
其中,
是二次项,
是一次项,
是常数项。
是一个重要条件,否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然,在强调了是一元二次方程之后,
也可以省略不写。另外,一元二次方程式有时会出现复数根。
古巴比伦留下的陶片显示,在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约公元前480年,中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代数方程式且容许同时有正负根的数学家。
11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum中,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二):
- 在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍;在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方;然后在方程的两边同时开二次方根。
将其转化为数学语言:解关于
的方程
在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍,即[1]
,得
在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方,即
,得
然后在方程的两边同时开二次方根,得
阿贝尔指出,任意一元二次方程都可以根据
、
、
三个系数,通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。
一般来说,一元二次方程有两个根。
把一个关于
一元二次方程变形成一般形式
后,如果
能够较简便地分解成两个一次因式的乘积,则一般用因式分解来解这个一元二次方程。
将方程左边分解成两个一次因式的乘积后(一般可用十字相乘法),分别令每一个因式等于零,可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程,得到的两个解都是原方程的解。
如果一元二次方程
存在两个实根
,那么它可以因式分解为
。
例如,解一元二次方程
时,可将原方程左边分解成
,所以
,可解得
对于
,若
,则它的两个不等实数根可以表示为
;
若
,则它的两个相等实数根可以表示为
;
若
,则它的两个共轭复数根可以表示为
。
公式解可以由配方法得出。
已知关于
的一元二次方程
①移项,得:
;
②二次项系数化为
,得:
;
③配方,得:
,
;
因为
,所以
若
,则它的两个不等实数根可以表示为
;
若
,则它的两个相等实数根可以表示为
;
若
,则它的两个共轭复数根可以表示为
。
一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。
公式中的根式
应该理解为“如果存在的话,两个自乘后为
的数当中任何一个”。在某些数域中,有些数值没有平方根。
对于实系数一元二次方程
,
称作一元二次方程根的判别式。根据判别式,一元二次方程的根有三种可能的情况:
- 如果
,则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数,且
是一个完全平方数,则这两个根都是有理数,否则这两个根至少有一个是无理数。
- 如果
,则这个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根 ![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139ec1e9b275c94b15614c4dacd3a8b9a25f948d)
- 如果
,则这个一元二次方程有两个不等的复数根,两根互为共轭复数。这时两根分别为
,其中
。
即系数为非实数时的一元二次方程,将系数扩展到复数域内,此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。
根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。![{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b3e9804b89ddabf58070946058e2b3440579d7)
,则该函数与x轴相交(有两个交点)
,则该函数与x轴相切(有且仅有一个交点)
,则该函数与x轴相离(没有交点)
一元二次方程
的根的几何意义是二次函数
的图像(为一条抛物线)与
轴交点的坐标,即二次函数的零点。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%9B%BE%E5%83%8F%E8%A7%A3%E6%B3%952.png/220px-%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%9B%BE%E5%83%8F%E8%A7%A3%E6%B3%952.png)
的解是
和
交点的X座标
另外一种解法是把一元二次方程
化为
的形式。
则方程
的根,就是函数
和
交点的横坐标。
通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。
在使用计算机解一元二次方程时,跟人手工计算相似,大部分情况下也是根据以下公式去解
可以进行符号运算的程序,比如Mathematica,可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数)
- ^ Sridhara. www-gap.dcs.st-and.ac.uk. 2006-02-08 [2024-07-02]. (原始内容存档于2006-02-08) (英语).