一元二次方程式是只含有一個未知數,並且未知數的最高次數是二次的多項式方程。
例如,
,
,
等都是一元二次方程。
一元二次方程式的一般形式是
其中,
是二次項,
是一次項,
是常數項。
是一個重要條件,否則就不能保證該方程未知數的最高次數是二次。當然,在強調了是一元二次方程之後,
也可以省略不寫。另外,一元二次方程式有時會出現復數根。
古巴比倫留下的陶片顯示,在大約公元前2000年(2000 BC)古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年,中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。
7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。
11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum中,首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。
據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在着爭議。這個求解規則是(引自婆什迦羅第二):
- 在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍;在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方;然後在方程的兩邊同時開二次方根。
將其轉化為數學語言:解關於
的方程
在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍,即[1]
,得
在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方,即
,得
然後在方程的兩邊同時開二次方根,得
阿貝爾指出,任意一元二次方程都可以根據
、
、
三個係數,通過初等代數運算來求解。求得的解也被稱為方程的根。
一般來說,一元二次方程有兩個根。
把一個關於
一元二次方程變形成一般形式
後,如果
能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積,則一般用因式分解來解這個一元二次方程。
將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積後(一般可用十字相乘法),分別令每一個因式等於零,可以得到兩個一元一次方程。解這兩個一元一次方程,得到的兩個解都是原方程的解。
如果一元二次方程
存在兩個實根
,那麼它可以因式分解為
。
例如,解一元二次方程
時,可將原方程左邊分解成
,所以
,可解得
對於
,若
,則它的兩個不等實數根可以表示為
;
若
,則它的兩個相等實數根可以表示為
;
若
,則它的兩個共軛複數根可以表示為
。
公式解可以由配方法得出。
已知關於
的一元二次方程
①移項,得:
;
②二次項係數化為
,得:
;
③配方,得:
,
;
因為
,所以
若
,則它的兩個不等實數根可以表示為
;
若
,則它的兩個相等實數根可以表示為
;
若
,則它的兩個共軛複數根可以表示為
。
一元二次方程的求根公式在方程的係數為有理數、實數、複數或是任意數域中適用。
公式中的根式
應該理解為「如果存在的話,兩個自乘後為
的數當中任何一個」。在某些數域中,有些數值沒有平方根。
對於實係數一元二次方程
,
稱作一元二次方程根的判別式。根據判別式,一元二次方程的根有三種可能的情況:
- 如果
,則這個一元二次方程有兩個不等的實數根。如果係數都為有理數,且
是一個完全平方數,則這兩個根都是有理數,否則這兩個根至少有一個是無理數。
- 如果
,則這個一元二次方程有兩個相等的實數根。這兩個等根 ![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139ec1e9b275c94b15614c4dacd3a8b9a25f948d)
- 如果
,則這個一元二次方程有兩個不等的複數根,兩根互為共軛複數。這時兩根分別為
,其中
。
即係數為非實數時的一元二次方程,將係數擴展到複數域內,此時要注意根的判別式不適用於非實係數一元二次方程。
根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與係數的關係。![{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b3e9804b89ddabf58070946058e2b3440579d7)
,則該函數與x軸相交(有兩個交點)
,則該函數與x軸相切(有且僅有一個交點)
,則該函數與x軸相離(沒有交點)
一元二次方程
的根的幾何意義是二次函數
的圖像(為一條拋物線)與
軸交點的坐標,即二次函數的零點。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%9B%BE%E5%83%8F%E8%A7%A3%E6%B3%952.png/220px-%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%9B%BE%E5%83%8F%E8%A7%A3%E6%B3%952.png)
的解是
和
交點的X座標
另外一種解法是把一元二次方程
化為
的形式。
則方程
的根,就是函數
和
交點的橫坐標。
通過作圖,可以得到一元二次方程根的近似值。
在使用計算機解一元二次方程時,跟人手工計算相似,大部分情況下也是根據以下公式去解
可以進行符號運算的程序,比如Mathematica,可以給出準確的解析表達式。而大部分程序則只會給出數值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)
- ^ Sridhara. www-gap.dcs.st-and.ac.uk. 2006-02-08 [2024-07-02]. (原始內容存檔於2006-02-08) (英語).