十九面体
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部分的十九面体 | |
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![]() 扭棱半立方体 |
![]() 十八角锥 |
![]() 十七角柱 |
在几何学中,十九面体是指有19个面的多面体,在十九面体当中没有任何一个形状是正多面体,换言之即正十九面体并不存在,但仍有许多由正多边形组成的十九面体,例如正十七角柱[1][2],与之拓朴结构类似的十九面体[3][4][5]曾被用于在形状稳定性的证明[6]。
常见的十九面体是十七角柱和十八角锥,也有一些化学结构是十九面体,例如有一种十二个顶点的分子构型,由其在几何上由十八个三角形和一个四边形组成[7]。此外要构成十九面体至少要有12个顶点[8]。
常见的十九面体
[编辑]常见的十九面体包含了一些锥体、柱体和一些由锥体与柱体组合并包含19个面形状,亦有一些拓朴结构明显与锥体、柱体不同的十九面体,例如空间填充十三面体的对偶多面体。
十八角锥
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/18-gonal_pyramid.png/220px-18-gonal_pyramid.png)
十八角锥是一种底面为十八边形的锥体,是十九面体的一种,其具有19个面、36条边和19个顶点,其对偶多面体是自己本身[9]。正十八角锥是一种底面为正十八边形的十八角锥,在施莱夫利符号中可以用{}∨{18}来表示。底边长为、高为的正十八角锥体积和表面积为[9]:
十七角柱
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Heptadecagonal_Prism.svg/220px-Heptadecagonal_Prism.svg.png)
十七角柱是一种底面为十七边形的柱体,是十九面体的一种,由19个面51条边和34个顶点组成。正十七角柱代表每个面都是正多边形的十七角柱,其每个顶点都是2个正方形和1个十七边形的公共顶点,顶点图以表示,因此具有每个角等角的性质(点可递),可以归类为半正十九面体,不过他跟其他较接近球形的半正多面体相比之下变得比较扁一些。
正十七角柱在施莱夫利符号中可以用{17}×{}或t{2,17}来表示,在考克斯特符号中可以用来表示,在威佐夫符号中可以利用2 17 | 2来表示,在康威多面体表示法中可以利用P17来表示。底边长为、高为的正十七角柱体积和表面积为[10]:
九角锥柱
[编辑]九角锥柱是指底面为九边形的角锥柱,由19个面、32条边和19个顶点组成,是一种十九面体。其对偶多面体为九角锥台锥,由于拓朴结构与九角锥柱相同,因此有时会被视作自身对偶多面体。
九角锥台锥
[编辑]九角锥台锥是指由九角锥台和九角锥组合成的多面体,其有两种形式:一种是九角锥叠在九角锥台较小的九边形面、另一种是九角锥叠在九角锥台较大的九边形面。后者可以视为只截去一个顶点的双九角锥。
九角锥台锥的拓朴结构与九角锥柱相同,因为九角锥柱可以借由缩放其九边形面使图形变形成九角锥台锥。
十七角锥台
[编辑]十七角锥台一种底面为时七边形的锥台,可以视为切去一个顶点的十七角锥。通常其两个底面形状会有差异或者相似,而两个底面都全等的十七角锥台与十七角柱无异,因此十七角锥台的拓朴结构与十七角柱相同,因为十七角柱可以借由缩放其十七边形面使图形变形成十七角锥台。
六角锥反角柱
[编辑]六角锥反角柱是指底面为六边形的角锥反角柱,可以视为一个六角锥与一个反六角柱底面对底面的组合。
六角锥反角柱不是一个詹森多面体,因为当其所有面都是正多边形时,其中六个正三角形将会共面,而导致图形退化成反六角柱。
相同的情形也出现在双六角锥反角柱上,必须要将部分正多边形面拉长或扭曲才能构成多面体,导致其无法以所有面皆为正多边形的形式存在,因此这些多面体可以被归类为拟詹森多面体[11]。
对偶多面体为十九面体的多面体
[编辑]有些多面体具有19个顶点,因此其对偶多面体为十九面体。例如空间填充十三面体具有19个顶点,因此其对偶多面体是一个十九面体。
空间填充十三面体的对偶多面体
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Image_of_a_polyhedron_vertice_as_a_face_to_snub_from_hemicube.svg/100px-Image_of_a_polyhedron_vertice_as_a_face_to_snub_from_hemicube.svg.png)
空间填充十三面体的对偶多面体是一种19面体,其可以视为一种经过扭棱变换的结果,其对应的原像与半立方体类似,但又不相同,其对应的原像有面积为零的退化面。
这个多面体一共有19个面、30条边和13个顶点,其面由16个三角形和3个梯形所组成。其对偶多面体可以独立填满整个三维空间。
十九面体列表
[编辑]名称 | 种类 | 图像 | 符号 | 顶点 | 边 | 面 | χ | 面的种类 | 对称性 | 展开图 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
十七角柱 | 棱柱体 | ![]() |
t{2,17} {17}x{} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
34 | 51 | 19 | 2 | 2个十七边形 17个矩形 |
D17h, [17,2], (*17 2 2), order 68 | |
十八角锥 | 棱锥体 | ![]() |
( )∨{18} | 19 | 36 | 19 | 2 | 1个十八边形 18个三角形 |
C18v, [18], (*18 18) | |
九角锥柱 | 角锥柱 | P9+Y9 | 19 | 36 | 19 | 2 | 9个三角形 9个正方形 1个九边形 |
C9v, [9], (*99) | ||
九角锥台锥 | 截角双锥 | 19 | 36 | 19 | 2 | 1个九边形 9个梯形 9个三角形 |
C9v, [9], (*99) | |||
十七角锥台 | 锥台 | 34 | 51 | 19 | 2 | 2个十七边形 17个梯形 |
D17h, [17,2], (*17 2 2), order 68 | |||
六角锥反角柱 | 角锥反角柱 | ![]() |
13 | 30 | 19 | 2 | 1个六边形 18个三角形 |
C6v, [6], (*66) | ||
六角化六角帐塔 | 帐塔锥 | 19 | 36 | 19 | 2 |
12个三角形 |
C6v, [6], (*66) | |||
空间填充十三面体[12] 的对偶多面体 |
扭棱半立方体 | ![]() |
13 | 30 | 19 | 2 | 16个三角形 3个梯形 |
![]() | ||
侧锥十四角柱 | A14+Y4 | 19 | 4个正三角形 13个正方形 2个十四边形 |
C2v | ||||||
二侧锥十一角柱 | P11+2Y4 | 19 | 8个正三角形 9个正方形 2个十一边形 |
C2v |
参见
[编辑]- 十九边形:同为含19个维面(facet)的形状,但是位于二维空间。
参考文献
[编辑]- ^ Murray S. Klamkin. Problems in Applied Mathematics. SIAM. 1990. ISBN 9781611971729.
- ^ Algonquin College, Carleton-Ottawa Mathematics Association. Crux Mathematicorum. 第 6 卷. Algonquin College. 1980: 29.
- ^ University of Calgary. Dept. of Mathematics, Statistics, and Computing Science. Research Paper. 第 101-110 期. 1980: 22.
- ^ Raj Chandra Bose, University of North Carolina (1793-1962). Dept. of Statistics, United States. Air Force. Office of Scientific Research. Proceedings. University of North Carolina. 1970: 232.
- ^ George S. Innis. Existence of Binary Sequences with Prescribed Properties 11 (4): 621–622. doi:10.1137/1011101.
- ^ Michael Goldberg, R. K. Guy, and R. K. Guy. Stability oF Polyhedra. Problem 66-12 11 (1): 621–622. 1969年1月. doi:10.1137/1011014.
- ^ KING, R. Bruce. Supraicosahedral polyhedra in carboranes and metallacarboranes: The role of local vertex environments in determining polyhedral topology and the anomaly of 13-vertex closo polyhedra. Journal of organometallic chemistry, 2007, 692.9: 1773-1782.
- ^ Counting polyhedra. numericana.com. [2016-01-10]. (原始内容存档于2016-05-06).
- ^ 9.0 9.1 Wolfram, Stephen. "Octadecagonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语).
- ^ Wolfram, Stephen. "heptadecagonal prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语).
- ^ Kaplan, Craig S.; Hart, George W., Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons, Bridges: Mathematical Connections in Art, Music and Science (PDF), 2001 [2016-10-16], (原始内容存档 (PDF)于2015-09-23).
- ^ Aspace-filling polyhedron with 13 faces. science.unitn.it. 2016-01-10 [2016-08-28]. (原始内容存档于2017-07-01).
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