形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念,是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似,不过允许(可数)无穷多项因子相加,但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。
形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者,也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性,也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象,而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。举例来说,以下的级数式子:
![{\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d90dbc2e766447b978dcbe337c510a5564bf24)
如果我们把它当成幂级数来研究的话,重点会放在它的收敛半径等于1、其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等。但作为形式幂级数来研究时,我们关注的是它本身的结构。我们甚至可以把它简写为:
这样,只关注它的系数。我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数。比如说系数为阶乘的形式幂级数:
,即使说它对应的幂级数:
![{\displaystyle A=1+X+2X^{2}+6X^{3}+24X^{4}+120X^{5}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e19e8c21a8ee2aade9e232e0ab31df814a1f437)
在
取任何的非零实数值时都不收敛,我们仍然可以将其作为形式幂级数进行运算。
和多项式环中的元素一样,形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算,具体的计算方式和多项式环一样。比如说设:
![{\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+8X^{7}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9816727316941266809a6191060509b39b44698)
那么
与
的和就是:
![{\displaystyle A+B=1+3X+2X^{2}+10X^{3}+24X^{4}+126X^{5}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d373a42d268f4046e072b74b3a51ae04424ed47)
![{\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3171f56c4ed60205ba5774d8b11f608a3b659e58)
其中
里面
的系数就是
与
中
的系数的和;
里面
的系数就是
与
中
的阶数相加等于5的项的系数乘积的和:
![{\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49d224a5bfbc2cc4e76f09fe20599716d6ed35b)
对每个确定的阶数
,这个计算是有限项(至多
项)的相加,所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候,不需要像在对幂级数进行计算时一样,考虑诸如是否绝对收敛、条件收敛或是一致收敛的问题。另外,如多项式的形式运算一样,形式幂级数也满足加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律以及乘法对加法的分配律。
形式幂级数不仅能够定义乘法,也能定义乘法逆的运算。一个形式幂级数
的逆是指另一个形式幂级数
,使得
. 如果这样的形式幂级数
存在,就是唯一的,将其记为
。同时我们也可以定义形式幂级数的除法:当
的逆存在时,
比如说,可以很容易验证:
![{\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacfd1790a7aa81f5ab70dfdc759a377fe749032)
形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作:将一个形式幂级数映射到它的
的系数。这个操作常常记作
,比如说对形式幂级数
,就有:
![{\displaystyle [X^{5}]A=-11}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ab3cad81a1aa1fd08adb13f76dbbe50900c924)
对以上定义的形式幂级数
,也有:
。又比如:
,
。提取映射和多项式环中的对应映射一样,都可以看做是到一个子空间的投影映射。
所有的不定元为
,系数为某一个交换环
上元素的形式幂级数构成一个环,称为
上变量为
的形式幂级数环,记作
。
可以定义为
上变量为
的多项式环完备化(对于特定的度量)后得到的。这个定义自然就赋予了
以拓扑环的结构(同时也赋予了完备度量空间的结构)。不过空间完备化所需要的步骤过于繁琐,而建构
所需要的并没有那么多。以下将对
的环结构和拓扑结构分别定义,更为明晰,容易理解。
首先可以定义集合
的范围。作为一个集合,
可以用和
一样的方法构造。
是所有
上元素构成的数列
的集合:
![{\displaystyle R^{\mathbb {N} }=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,\,\,\forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}\in R\}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272ddd2c66122323585d98847ebd53a2e2611646)
中的元素可以定义加法和乘法:
![{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8882d109f1428f6376081379a696c01af48b1054)
![{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008b6e9c12cb087f12213f0a35956fb29e83fab7)
其中乘法的定义方法也叫做求两个数列的系数的柯西乘积,也是一种卷积。可以证明,在以上的定义下,
是一个交换环。环的加法零元是
,乘法幺元是
。于是我们可以将
中的元素嵌入到
之中,
![{\displaystyle x\in R\,\,\mapsto \,(x,0,0,...)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae22e841f13015adfb7d32c205f332c27f378ef8)
并将
映射到不定元
,这样通过以上定义的加法和乘法就可以将
中的有限非零元元素同构为:
![{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )\mapsto a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba08311898df80d7bfa2996fd9dd188f77191d4)
这样的结构和多项式环是一样的。所以对于更一般的
中元素
,就可以自然地希望将其对应到
:
但这个对应方式并不能通过有限项的加法和乘法得到,所以需要用一个约定上的映射
来做到:
![{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )\mapsto \varphi (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}+\cdots =\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b76efdacfa97047ce8b216ea16ae3a2b07b013)
这个映射涵盖了之前的多项式的定义,并且可以定义
![{\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57de3e475de2acfb71833fbe395cbb6a9220164)
以及
![{\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a07f830bad00dc6cbfa9ae2774dace3c42032b)
这个定义使得
是一个同态,所以
也是一个交换环。
以上的定义中建立了映射
![{\displaystyle \varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\qquad (1)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1d3801e1166c5b2d9cab9b0532cef71a2d6dbc)
但需要注意的是这里的定义中
还是一个符号性的对象,因为我们并没有定义其中无限求和号的意义。为了更好地定义
本身,我们需要引入拓扑的结构,将其作为极限来严格地说明。需要注意的是,适合的拓扑结构不止一个。
- 我们可以在
上定义离散拓扑的结构,然后将
作为可数个
的积空间,将其上的拓扑定义为积拓扑。
- 我们也可以直接在
上定义类似于p进数拓扑的
进拓扑,其中的
是环结构中由
生成的理想,也就是由所有
形式的形式幂级数构成的集合。
- 对不熟悉一般的点集拓扑学的读者,也可以建立一个具体的度量(也就是定义“距离”)来定义拓扑。比如定义两个数列
和
的距离:
![{\displaystyle d(a,b)={\begin{cases}2^{-\omega (a-b)}&\quad a-b\neq 0\\0&\quad a-b=0\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9725c2c2522ec2b6accf474a89541abbbe11d9ba)
其中
表示数列
中第一个不等于0的系数的下标。这样的定义之下,我们说两个数列如果越来越“接近”,那么第一个系数不同的地方会出现的越晚,也就是说它们的距离也越小。对一个数列
,定义部分和数列为:
![{\displaystyle s_{k}=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{k},0,0,\ldots )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc660194c72dfbc8f6c07401f8694a11ce8ca2cf)
那么部分和
和
的距离就会是
,所以
趋于无穷大的时候,部分和数列和
的距离趋于0. 这样,在定义了有限项非零元的数列和多项式的关系以后,就可以将任意的数列定义为部分和数列的极限。
![{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }s_{k}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d71c1a1c47b0d701b5eb408d9107cf1a38ac342)
然后对形式幂级数也定义类似的距离:
![{\displaystyle d'(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}X^{i})={\begin{cases}2^{-\omega '},\,\,\omega '=\min _{n}\{a_{n}\neq b_{n}\}&\quad \exists a_{n}\neq b_{n}\\0&\quad \forall n,\,\,a_{n}=b_{n}\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4fa12c391954988a06e6a63ed116afb2cd4d45)
然后形式幂级数也就满足:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}=:\varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }\varphi (s_{k})=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ca81c52d21bd07e7db64731ae9173105bbb1a2)
并且可以验证加法、乘法的交换律和结合律,以及乘法对加法的分配律。于是我们定义出了一个同构于
的拓扑环,将其称为
上的形式幂级数环
。