形式冪級數(formal power series)是一個數學中的抽象概念,是從冪級數中抽離出來的代數對象。形式冪級數和從多項式中剝離出來的多項式環類似,不過允許(可數)無窮多項因子相加,但不像冪級數一般要求研究是否收斂和是否有確定的取值。形式冪級數在代數和組合理論中有廣泛應用。
形式冪級數和多項式的形式定義有類似之處。對於熟悉冪級數的讀者,也可以將其看作是不討論冪級數斂散性,也就是將其中的不定元僅僅看作是一個代數對象,而不是任何具體數值的時候寫出的冪級數。舉例來說,以下的級數式子:
![{\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d90dbc2e766447b978dcbe337c510a5564bf24)
如果我們把它當成冪級數來研究的話,重點會放在它的收斂半徑等於1、其對應的冪級數函數是否滿足某些性質等等。但作為形式冪級數來研究時,我們關注的是它本身的結構。我們甚至可以把它簡寫為:
這樣,只關注它的係數。我們完全可以考慮各種係數的形式冪級數。比如說係數為階乘的形式冪級數:
,即使說它對應的冪級數:
![{\displaystyle A=1+X+2X^{2}+6X^{3}+24X^{4}+120X^{5}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e19e8c21a8ee2aade9e232e0ab31df814a1f437)
在
取任何的非零實數值時都不收斂,我們仍然可以將其作為形式冪級數進行運算。
和多項式環中的元素一樣,形式冪級數之間也可以做加減和乘法的運算,具體的計算方式和多項式環一樣。比如說設:
![{\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+8X^{7}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9816727316941266809a6191060509b39b44698)
那麼
與
的和就是:
![{\displaystyle A+B=1+3X+2X^{2}+10X^{3}+24X^{4}+126X^{5}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d373a42d268f4046e072b74b3a51ae04424ed47)
![{\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3171f56c4ed60205ba5774d8b11f608a3b659e58)
其中
裏面
的係數就是
與
中
的係數的和;
裏面
的係數就是
與
中
的階數相加等於5的項的係數乘積的和:
![{\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49d224a5bfbc2cc4e76f09fe20599716d6ed35b)
對每個確定的階數
,這個計算是有限項(至多
項)的相加,所以在計算形式冪級數的加減法和乘法的時候,不需要像在對冪級數進行計算時一樣,考慮諸如是否絕對收斂、條件收斂或是一致收斂的問題。另外,如多項式的形式運算一樣,形式冪級數也滿足加法的交換律、加法的結合律、乘法的交換律、乘法的結合律以及乘法對加法的分配律。
形式冪級數不僅能夠定義乘法,也能定義乘法逆的運算。一個形式冪級數
的逆是指另一個形式冪級數
,使得
. 如果這樣的形式冪級數
存在,就是唯一的,將其記為
。同時我們也可以定義形式冪級數的除法:當
的逆存在時,
比如說,可以很容易驗證:
![{\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacfd1790a7aa81f5ab70dfdc759a377fe749032)
形式冪級數上的一個重要映射是係數的提取操作:將一個形式冪級數映射到它的
的係數。這個操作常常記作
,比如說對形式冪級數
,就有:
![{\displaystyle [X^{5}]A=-11}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ab3cad81a1aa1fd08adb13f76dbbe50900c924)
對以上定義的形式冪級數
,也有:
。又比如:
,
。提取映射和多項式環中的對應映射一樣,都可以看做是到一個子空間的投影映射。
所有的不定元為
,係數為某一個交換環
上元素的形式冪級數構成一個環,稱為
上變量為
的形式冪級數環,記作
。
可以定義為
上變量為
的多項式環完備化(對於特定的度量)後得到的。這個定義自然就賦予了
以拓撲環的結構(同時也賦予了完備度量空間的結構)。不過空間完備化所需要的步驟過於繁瑣,而建構
所需要的並沒有那麼多。以下將對
的環結構和拓撲結構分別定義,更為明晰,容易理解。
首先可以定義集合
的範圍。作為一個集合,
可以用和
一樣的方法構造。
是所有
上元素構成的數列
的集合:
![{\displaystyle R^{\mathbb {N} }=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,\,\,\forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}\in R\}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272ddd2c66122323585d98847ebd53a2e2611646)
中的元素可以定義加法和乘法:
![{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8882d109f1428f6376081379a696c01af48b1054)
![{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008b6e9c12cb087f12213f0a35956fb29e83fab7)
其中乘法的定義方法也叫做求兩個數列的係數的柯西乘積,也是一種卷積。可以證明,在以上的定義下,
是一個交換環。環的加法零元是
,乘法么元是
。於是我們可以將
中的元素嵌入到
之中,
![{\displaystyle x\in R\,\,\mapsto \,(x,0,0,...)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae22e841f13015adfb7d32c205f332c27f378ef8)
並將
映射到不定元
,這樣通過以上定義的加法和乘法就可以將
中的有限非零元元素同構為:
![{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )\mapsto a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba08311898df80d7bfa2996fd9dd188f77191d4)
這樣的結構和多項式環是一樣的。所以對於更一般的
中元素
,就可以自然地希望將其對應到
:
但這個對應方式並不能通過有限項的加法和乘法得到,所以需要用一個約定上的映射
來做到:
![{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )\mapsto \varphi (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}+\cdots =\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b76efdacfa97047ce8b216ea16ae3a2b07b013)
這個映射涵蓋了之前的多項式的定義,並且可以定義
![{\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57de3e475de2acfb71833fbe395cbb6a9220164)
以及
![{\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a07f830bad00dc6cbfa9ae2774dace3c42032b)
這個定義使得
是一個同態,所以
也是一個交換環。
以上的定義中建立了映射
![{\displaystyle \varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\qquad (1)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1d3801e1166c5b2d9cab9b0532cef71a2d6dbc)
但需要注意的是這裏的定義中
還是一個符號性的對象,因為我們並沒有定義其中無限求和號的意義。為了更好地定義
本身,我們需要引入拓撲的結構,將其作為極限來嚴格地說明。需要注意的是,適合的拓撲結構不止一個。
- 我們可以在
上定義離散拓撲的結構,然後將
作為可數個
的積空間,將其上的拓撲定義為積拓撲。
- 我們也可以直接在
上定義類似於p進數拓撲的
進拓撲,其中的
是環結構中由
生成的理想,也就是由所有
形式的形式冪級數構成的集合。
- 對不熟悉一般的點集拓撲學的讀者,也可以建立一個具體的度量(也就是定義「距離」)來定義拓撲。比如定義兩個數列
和
的距離:
![{\displaystyle d(a,b)={\begin{cases}2^{-\omega (a-b)}&\quad a-b\neq 0\\0&\quad a-b=0\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9725c2c2522ec2b6accf474a89541abbbe11d9ba)
其中
表示數列
中第一個不等於0的係數的下標。這樣的定義之下,我們說兩個數列如果越來越「接近」,那麼第一個係數不同的地方會出現的越晚,也就是說它們的距離也越小。對一個數列
,定義部分和數列為:
![{\displaystyle s_{k}=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{k},0,0,\ldots )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc660194c72dfbc8f6c07401f8694a11ce8ca2cf)
那麼部分和
和
的距離就會是
,所以
趨於無窮大的時候,部分和數列和
的距離趨於0. 這樣,在定義了有限項非零元的數列和多項式的關係以後,就可以將任意的數列定義為部分和數列的極限。
![{\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }s_{k}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d71c1a1c47b0d701b5eb408d9107cf1a38ac342)
然後對形式冪級數也定義類似的距離:
![{\displaystyle d'(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}X^{i})={\begin{cases}2^{-\omega '},\,\,\omega '=\min _{n}\{a_{n}\neq b_{n}\}&\quad \exists a_{n}\neq b_{n}\\0&\quad \forall n,\,\,a_{n}=b_{n}\end{cases}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4fa12c391954988a06e6a63ed116afb2cd4d45)
然後形式冪級數也就滿足:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}=:\varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }\varphi (s_{k})=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ca81c52d21bd07e7db64731ae9173105bbb1a2)
並且可以驗證加法、乘法的交換律和結合律,以及乘法對加法的分配律。於是我們定義出了一個同構於
的拓撲環,將其稱為
上的形式冪級數環
。