约瑟夫·拉格朗日
拉格朗日方程式(Lagrange equation),因数学物理学家约瑟夫·拉格朗日而命名,是分析力学的重要方程式,可以用来描述物体的运动,特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程式的功能相当于牛顿力学中的牛顿第二定律。
假设一个物理系统符合完整系统的要求,即所有广义座标都互相独立,则拉格朗日方程式成立:
;
其中,
是拉格朗日量,
是广义座标,是时间
的函数,
是广义速度。
在分析力学里,有三种方法可以导引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程式(参阅达朗贝尔原理);更进阶层面,可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程式(参阅哈密顿原理);最简明地,可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程式来推导:
设定函数
和
:
、
、
;
其中,
是自变数(independent variable)。
若
使泛函
取得局部平稳值,则在区间
内,欧拉-拉格朗日方程式成立:
。
现在,执行下述转换:
- 设定独立变数
为时间
、
- 设定函数
为广义坐标
、
- 设定泛函
为拉格朗日量
,
则可得到拉格朗日方程式
。
- 为了满足这转换的正确性,广义坐标必须互相独立,所以,这系统必须是完整系统。
- 拉格朗日量是动能减去位势,而位势必须是广义位势。所以,这系统必须是单演系统。
- 主项目:参阅半完整系统
一个不是完整系统的物理系统是非完整系统,不能用上述形式论来分析。假若,一个非完整系统的约束可以以方程式表示为
;
则称此系统为半完整系统[1]。
半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说,分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子
:
;
其中,
是未知函数。
由于这
个广义坐标中,有
个相依的广义坐标,泛函
不能直接被转换为拉格朗日量
;必须加入拉格朗日乘子,将泛函
转换为
。这样,可以得到拉格朗日广义力方程式:
;
其中,
是广义力,
。
这
个广义力运动方程式加上
个约束方程式,给出
个方程式来解
个未知广义坐标与
个拉格朗日乘子。
这个段落会展示拉格朗日方程式的两个应用实例。第一个实例展示出,用牛顿方法与拉格朗日方法所得的答案相同。第二个实例展示出拉格朗日方法的威力,因为这问题比较不适合用牛顿方法来分析。
思考一个粒子从静止状态自由地下落。由于重力
作用于此粒子,应用牛顿第二定律,可以得到运动方程式
;
其中,x-坐标垂直于地面,由初始点(原点)往地面指。
这个结果也可以从拉格朗日形式论得到。动能
是
,
位势
是
;
所以,拉格朗日量
是
。
将
代入拉格朗日方程式,
。
运动方程式是
;
与牛顿方法的运动方程式相同。
思考一个简单摆系统。系统的x-轴平行于地面,y-轴垂直于x-轴,指向地面。摆锤P的质量是
,位置是
。摆绳的长度是
。摆的支撑点Q的质量是
。这支撑点Q可以沿著一条平行于x-轴的直线移动。点Q的位置是
。摆绳与y-轴的夹角是
。那么,动能是
,
位势为
。
所以,拉格朗日量是
。
两个约束方程式为
、
。
将约束方程式代入拉格朗日量方程式,
。
特别注意,在这里,广义坐标是
与
。应用拉格朗日方程式,经过微分运算,对于
坐标,可以得到
。
运动方程式为
。
由于拉格朗日量不显含广义坐标
,称
为可略坐标,而其相对应的广义动量
是常数
:
。
对于
坐标,可以得到
;
所以,运动方程式为
。
假如用牛顿第二定律,则必须仔细地辨明所有的相关作用力。这是一项既困难又容易出错的工作。
- ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 (英语).