約瑟夫·拉格朗日
拉格朗日方程式(Lagrange equation),因數學物理學家約瑟夫·拉格朗日而命名,是分析力學的重要方程式,可以用來描述物體的運動,特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於牛頓力學中的牛頓第二定律。
假設一個物理系統符合完整系統的要求,即所有廣義座標都互相獨立,則拉格朗日方程式成立:
;
其中,
是拉格朗日量,
是廣義座標,是時間
的函數,
是廣義速度。
在分析力學裏,有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式(參閱達朗貝爾原理);更進階層面,可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式(參閱哈密頓原理);最簡明地,可以借用數學變分法的尤拉-拉格朗日方程式來推導:
設定函數
和
:
、
、
;
其中,
是自變數(independent variable)。
若
使泛函
取得局部平穩值,則在區間
內,尤拉-拉格朗日方程式成立:
。
現在,執行下述轉換:
- 設定獨立變數
為時間
、
- 設定函數
為廣義坐標
、
- 設定泛函
為拉格朗日量
,
則可得到拉格朗日方程式
。
- 為了滿足這轉換的正確性,廣義坐標必須互相獨立,所以,這系統必須是完整系統。
- 拉格朗日量是動能減去位勢,而位勢必須是廣義位勢。所以,這系統必須是單演系統。
- 主項目:參閱半完整系統
一個不是完整系統的物理系統是非完整系統,不能用上述形式論來分析。假若,一個非完整系統的約束可以以方程式表示為
;
則稱此系統為半完整系統[1]。
半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說,分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子
:
;
其中,
是未知函數。
由於這
個廣義坐標中,有
個相依的廣義坐標,泛函
不能直接被轉換為拉格朗日量
;必須加入拉格朗日乘子,將泛函
轉換為
。這樣,可以得到拉格朗日廣義力方程式:
;
其中,
是廣義力,
。
這
個廣義力運動方程式加上
個約束方程式,給出
個方程式來解
個未知廣義坐標與
個拉格朗日乘子。
這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出,用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力,因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。
思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力
作用於此粒子,應用牛頓第二定律,可以得到運動方程式
;
其中,x-坐標垂直於地面,由初始點(原點)往地面指。
這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能
是
,
位勢
是
;
所以,拉格朗日量
是
。
將
代入拉格朗日方程式,
。
運動方程式是
;
與牛頓方法的運動方程式相同。
思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面,y-軸垂直於x-軸,指向地面。擺錘P的質量是
,位置是
。擺繩的長度是
。擺的支撐點Q的質量是
。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是
。擺繩與y-軸的夾角是
。那麼,動能是
,
位勢為
。
所以,拉格朗日量是
。
兩個約束方程式為
、
。
將約束方程式代入拉格朗日量方程式,
。
特別注意,在這裏,廣義坐標是
與
。應用拉格朗日方程式,經過微分運算,對於
坐標,可以得到
。
運動方程式為
。
由於拉格朗日量不顯含廣義坐標
,稱
為可略坐標,而其相對應的廣義動量
是常數
:
。
對於
坐標,可以得到
;
所以,運動方程式為
。
假如用牛頓第二定律,則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。
- ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 (英語).