高斯常数识别 |
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种类 | 无理数 超越数 |
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发现 | 卡尔·弗里德里希·高斯 |
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符号 | ![{\displaystyle G}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) |
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位数数列编号 | A014549 |
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性质 |
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定义 | ![{\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275e66dd6d8763e0d84ba3818b737cdcca89239a) |
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连分数 | [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36...](OEIS数列A053002) |
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表示方式 |
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值 | 0.8346268 |
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二进制 | 0.110101011010101000011010… |
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八进制 | 0.653250326325523207665422… |
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十进制 | 0.834626841674073186281429… |
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十六进制 | 0.D5AA1ACD5A9A1F6B126ED416… |
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高斯常数符号为G,是1和根号2之算术-几何平均数的倒数:
![{\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e585f2cba99b5888363b68ad267a532f1a1553d)
此数学常数得名自卡尔·弗里德里希·高斯,他在1799年5月30日发现
![{\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce994f6c6a794b21fa039db0523babea96a7997)
因此
![{\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae1d745aed081b8c433c9de9a6c7cfd23670bc1)
其中B为贝塔函数。
高斯常数常用来表示
的数值。
![{\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81aa7915488274e2b4fcf62c23505aa84fc3d565)
换句话说
![{\displaystyle G={\frac {[\Gamma ({\tfrac {1}{4}})]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77d41d505398f254b39b3397332a49dcd71fa0f)
因为
和
互相代数独立,且
为无理数,因此高斯常数为超越数。
高斯常数常用来定义lemniscate常数,第一lemniscate常数为:
![{\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314fbbe2f306a9aacdf1347643341a600153e0fa)
第二lemniscate常数为:
![{\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3174f0abe1513e9e3be000fc22f4da114f3281)
在计算伯努利双纽线的弧长时会出现这些常数。
以下是一个用Θ函数定义高斯常数的公式
![{\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25decb1772acbceae31c0de8cc737a07e7bd8c9e)
也可以用以下快速收敛的级数表示
![{\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa19577531f9b3da22813ac592a0c28c2145114e)
高斯常数也可以用无穷乘积表示:
![{\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4dc860185a3a258ad7ccf8f2a515fb0c48ec9e)
在以下的定积分中也有高斯常数
![{\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33029f1c45b3b498b7deba17be1b2552116bf00e)
![{\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d527f41369d6713c0a332fa194e728b66d68a047)
高斯常数的连分数为[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. (OEIS数列A053002)