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代數整數

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數學裡,代數整數algebraic integer)是複數中的一類。一個複數α是代數整數當且僅當它是某個個系數的首一多項式的根。其中首一(英文:monic)意謂最高次項的系數是1。

因此,所有代數整數都是代數數,但並非所有代數數都是代數整數。所有代數整數構成一個環,通常記作

如果是整係數本原多項式(即系數的最大公因數是1的多項式),但非首一多項式,則的根都不是代數整數。

定義

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以下是代數整數四種相互等價的定義。設K代數數域有理數有限擴張)。根據本原元定理K可以寫成的形式。其中是某個代數數。設有,則α是代數整數當且僅當以下命題之一成立:

  1. 存在整係數多項式:,使得
  2. α上的極小首一多項式是整係數多項式。
  3. 是有限生成的-
  4. 存在有限生成的-子模:,使得

例子

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  • 有理數中的代數整數就是整數。換句話說,交集是整數環。這可以用整係數多項式的一個簡單性質證明。如果一個整係數多項式
有一個根是有理數:,其中pq互素的整數,那麼必然有:分母q 整除,以及分子p 整除。因此,由於代數整數是某個首一多項式的根,如果它是有理數,那麼它的分母整除多項式的最高次項,也就是說整除1。所以這個有理數的分母是1,即是說它是整數。反過來,所有的整數n都是整係數首一多項式的根,所以是代數整數。
  • 一個給定的代數數域的交集稱為這個數域的(代數)整數環,記作。這個整數環中的代數整數不再只是整數。比如說,給定一個數域:,那麼對應的整數環中不僅有整數,還有,因為是首一多項式的根。
  • 不是代數整數。這是因為在有理數域上的最小多項式,不是一個首一多項式。
  • 是一個代數整數。它是多項式的根。一般來說,如果整數除以4餘1,那麼也是代數整數,因為它是多項式的根。
  • 給定素數pp單位根也是一個代數整數,因為是首一多項式的根。實際上,p分圓域的整數環就是

性質

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  • 兩個代數整數的和是一個代數整數,他們的差及積也是。這時它們滿足的首一多項式可以用結式表達;但他們的商就不一定是代數整數。
  • 一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換句話說,代數整數構成一個,並且在任何代數擴張下是整閉的。
  • 任何從整數出發,透過和、積與開方得到的數都是代數整數,但並非所有代數整數都可依此構造,例如,大多數的五次代數整數都無法透過這種方式構造。
  • 代數整數是裴蜀整環

參見

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參考來源

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  • Daniel A. Marcus, Number Fields(數域), third edition, Springer-Verlag, 1977