鄰域
![本頁使用了標題或全文手工轉換](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Zh_conversion_icon_m.svg/35px-Zh_conversion_icon_m.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Neighborhood_illust1.svg/220px-Neighborhood_illust1.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Neighborhood_illust2.svg/220px-Neighborhood_illust2.svg.png)
在集合論中,鄰域(英語:Neighbourhood)指以點 a 為中心的任何開區間,記作:U(a)。
在拓撲學和相關的數學領域中,鄰域是拓撲空間中的基本概念。直覺上說,一個點的鄰域是包含這個點的集合,並且該性質是外延的:你可以稍微「抖動」一下這個點而不離開這個集合。
定義
[編輯]在集合論中,有以下幾種鄰域:
- 鄰域:
- 去心鄰域:
- 左鄰域:
- 右鄰域:
在拓撲學中,拓撲空間X,A,B⊆X,稱B是A的鄰域,當且僅當以下條件之一成立:
- 存在開集C,使得A⊆C⊆B。
- A⊆Bo。(Bo是B的內部)
- 開鄰域,閉鄰域
- 若B是開集,則B稱為A的開鄰域;若B是閉集,則B稱為A的閉鄰域。
- 鄰域系統
- 設x∈X,則{x}所有鄰域的集合U(x),稱為x(或{x})的鄰域系。
注意:某些作者要求鄰域是開集,所以在閱讀文獻時注意約定是很重要的。
如果S是X的子集,S的鄰域是集合V,它包含了包含S的開集U。可得出集合V是S的鄰域,當且僅當它是在S中的所有點的鄰域。
鄰域的度量空間定義
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Neighborhood_illust3.svg/220px-Neighborhood_illust3.svg.png)
在度量空間M = (X,d)中,集合V是點p的鄰域,如果存在以p為中心和半徑為r的開球,
它被包含在V中。
一致鄰域
[編輯]V叫做集合S的一致鄰域(uniform neighborhood),如果存在正數r使得對於S的所有元素p,
被包含在V中。
對於r>0集合S的r-鄰域是X中與S的距離小於r的所有點的集合(或等價的說是以S中一個點為中心半徑為r的所有開球的併集)。
可直接得出r-鄰域是一致鄰域,並且一個集合是一致鄰域當且僅當它包含對某個r值的r-鄰域。
參見一致空間。
非一致鄰域的例子
[編輯]- ,
則V是自然數集合N的鄰域,但它不是這個集合的均勻鄰域,因為並不是一個固定值。
去心鄰域
[編輯]點 的去心鄰域(英語:deleted neighborhood 或 punctured neighborhood)是點 的鄰域中減去 後得到的差集。例如,區間 是 在實數軸上的鄰域,因此集合 是 的一個去心鄰域。需注意的是,給定點的去心鄰域實際上不是該點的鄰域。在討論函數極限時,會用到去心鄰域的概念。
基於鄰域的拓撲
[編輯]上述定義適用於開集的概念早已定義的情況。有另一種方式來定義拓撲,也就是先定義鄰域系統,再定義開集:若集中每個點皆有一個鄰域被包含於集中,則為開集。
在X上的鄰域系統是濾子N(x)(在集合X上)到每個X中的x的指派,使得
- 點x是每個N(x)中的U的元素,
- 每個N(x)中的U包含某個N(x)中的V使得對於每個V中的y有着U在N(y)中。
可以證明這兩個定義是兼容的,就是說從使用開集定義的鄰域系統獲得的拓撲就是最初的拓撲,反之從鄰域系統出發亦然。
引用
[編輯]- Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256.
- Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263.
- Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948.
參見
[編輯]
|