線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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埃爾米特矩陣(英語:Hermitian matrix,又譯作厄米特矩陣,厄米矩陣),也稱自伴隨矩陣,是共軛對稱的方陣。埃爾米特矩陣中每一個第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的複共軛。例如
就是一個埃爾米特矩陣。
顯然,埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數,其特徵值也是實數。對於實矩陣,如果它是對稱矩陣,則它也滿足埃爾米特矩陣的定義,即,實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例。
對於矩陣
,若對A中任意元素
和
有:
![{\displaystyle a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24099a212a402c11f8fc675d0387a92026d0d32c)
其中
為共軛算子,則記作
,其中
為共軛轉置,稱A為埃爾米特矩陣。
- 若A和B是埃爾米特矩陣,那麼它們的和A+B也是埃爾米特矩陣;而只有在A和B滿足交換性(即AB = BA)時,它們的積才是埃爾米特矩陣。
- 可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣A-1仍然是埃爾米特矩陣。
- 如果A是埃爾米特矩陣,對於正整數n,An是埃爾米特矩陣。
- 方陣C與其共軛轉置的和
是埃爾米特矩陣,
- 方陣C與其共軛轉置的差
是斜埃爾米特矩陣。
- 任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示:
。
- 埃爾米特矩陣是正規矩陣,因此埃爾米特矩陣可被酉對角化,而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味着埃爾米特矩陣的特徵值都是實的,而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交,因此可以在這些特徵向量中找出一組Cn的正交基。
- n-階埃爾米特矩陣的元素構成維數為n2的實向量空間,因為主對角線上的元素有一個自由度,而主對角線之上的元素有兩個自由度。
- 如果埃爾米特矩陣的特徵值都是正數,那麼這個矩陣是正定矩陣,若它們是非負的,則這個矩陣是半正定矩陣。
埃爾米特序列(亦或埃爾米特向量)指滿足下列條件的序列ak(其中k = 0, 1,…, n):
。
若n是偶數,則an/2是實數。
實數序列的離散傅立葉轉換是埃爾米特序列。反之,一個埃爾米特序列的逆離散傅立葉轉換是實序列。