全微分方程是常微分方程的一種,它在物理學和工程學中廣泛使用。
給定R2的一個單連通的開子集D和兩個在D內連續的函數I和J,那麼以下形式的一階常微分方程
![{\displaystyle I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4dd40350bfb31a3d6e6168a15ed443e2f7727a)
稱為全微分方程,當且僅當存在一個連續可微的函數F,稱為勢函數,使得
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=I}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ab68a04a18dfb6ff65aea01b8628f94de5f27f)
以及
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=J.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c0735a4e49b36e690f34a23d5e2c49c6f0576c)
「全微分方程」的命名指的是函數的全導數。對於函數
,全導數為:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca0013df8f71dd86e5588157f621caaf7d0eb33)
函數
![{\displaystyle F(x,y):={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98e9ba5143c3fda69ab18f7760e06ded096a67c)
是以下全微分方程的勢函數。
![{\displaystyle xx'+yy'=0.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782ad18740be63424f5fa28fb1b5156e08b75520)
在物理學的應用中,I和J通常不僅是連續的,也是連續可微的。施瓦茨定理(也稱為克萊羅定理)提供了勢函數存在的一個必要條件。對於定義在單連通集合上的微分方程,這個條件也是充分的,我們便得出以下的定理:
給定以下形式的微分方程:
![{\displaystyle I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e320696f8161388afe79b581cdab8806b28fc1)
其中I和J在R2的單連通開子集D上是連續可微的,那麼勢函數F存在,當且僅當下式成立:
![{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99346a5ad341c498d336be2a703ca5bf95781628)
給定一個定義在R2的單連通開子集D上的全微分方程,其勢函數為F,那麼D內的可微函數f是微分方程的解,當且僅當存在實數c,使得
![{\displaystyle F(x,f(x))=c.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b1c7d222edeaf95c22214a6da1a128bae367a6)
對於初值問題
![{\displaystyle y(x_{0})=y_{0}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970aa219e62de0030c51781fc67b19a9ef654d46)
我們可以用以下公式來尋找一個勢函數:
![{\displaystyle F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})dt+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)dt.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06cb599be331be5f9da9cb5e3795ace233392240)
解方程
![{\displaystyle F(x,y)=c\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa9df50741cb4e871211de2331aaa7ebee9a505)
其中c是實數,我們便可以構造出所有的解。
- Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
- Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.
- Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.