全微分方程是常微分方程的一种,它在物理学和工程学中广泛使用。
给定R2的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J,那么以下形式的一阶常微分方程
![{\displaystyle I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4dd40350bfb31a3d6e6168a15ed443e2f7727a)
称为全微分方程,当且仅当存在一个连续可微的函数F,称为势函数,使得
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=I}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ab68a04a18dfb6ff65aea01b8628f94de5f27f)
以及
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=J.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c0735a4e49b36e690f34a23d5e2c49c6f0576c)
“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数
,全导数为:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca0013df8f71dd86e5588157f621caaf7d0eb33)
函数
![{\displaystyle F(x,y):={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98e9ba5143c3fda69ab18f7760e06ded096a67c)
是以下全微分方程的势函数。
![{\displaystyle xx'+yy'=0.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782ad18740be63424f5fa28fb1b5156e08b75520)
在物理学的应用中,I和J通常不仅是连续的,也是连续可微的。施瓦茨定理(也称为克莱罗定理)提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程,这个条件也是充分的,我们便得出以下的定理:
给定以下形式的微分方程:
![{\displaystyle I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e320696f8161388afe79b581cdab8806b28fc1)
其中I和J在R2的单连通开子集D上是连续可微的,那么势函数F存在,当且仅当下式成立:
![{\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y).}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99346a5ad341c498d336be2a703ca5bf95781628)
给定一个定义在R2的单连通开子集D上的全微分方程,其势函数为F,那么D内的可微函数f是微分方程的解,当且仅当存在实数c,使得
![{\displaystyle F(x,f(x))=c.\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b1c7d222edeaf95c22214a6da1a128bae367a6)
对于初值问题
![{\displaystyle y(x_{0})=y_{0}\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970aa219e62de0030c51781fc67b19a9ef654d46)
我们可以用以下公式来寻找一个势函数:
![{\displaystyle F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})dt+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)dt.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06cb599be331be5f9da9cb5e3795ace233392240)
解方程
![{\displaystyle F(x,y)=c\,}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa9df50741cb4e871211de2331aaa7ebee9a505)
其中c是实数,我们便可以构造出所有的解。
- Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
- Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.
- Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.