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角平分線長公式

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三角形的內、外角平分線

平面幾何中,角平分線長公式是計算三角形內、外角平分線長度的公式。在三角形 中, 的內角平分線交對邊 於點 ,外角平分線交直線 於點 ,則三角形的內、外角平分線的長度為:

若記 邊長為 邊長為 邊長為 ,記內角平分線 長為 ,外角平分線 長為 ,則三角形的內、外角平分線的長度可以表示為:

證明

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三角形ABC以及關於角A的平分線

內角平分線長

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的內角平分線交對邊 於點 。延長 至點 ,使

得內角平分線長公式(i):[1][2][3]

外角平分線長

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的外角平分線交直線 於點 。延長 至點 ,使

得外角平分線長公式(i):[2]

推導

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根據角平分線定理,有:[4]

代入式(i),得到角平分線長公式(ii):[5][3]

餘弦公式代入式(ii),得到角平分線長公式(iii):

半角公式代入式(iii),得到角平分線長公式(iv):[6]

與其他定理的關係

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斯圖爾特定理

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角平分線長公式是斯圖爾特定理的特殊情況,或者說推論。根據斯圖爾特定理,對於三角形 的任意一邊 上的任意一點 ,有:

當點 是內角平分線足時,根據角平分線定理,有:

聯立之後,即可得到內角平分線長公式(i)或(ii)。同理,可以推出外角平分線長公式(i)或(ii)。[5][2]

施泰納-萊穆斯定理

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利用角平分線長公式,可以證明施泰納-萊穆斯定理——有兩條內角平分線長度相等的三角形是等腰三角形[7]

化簡後得到:

連乘的其他各項都為正數,從而推出:

名稱

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在歐美,角平分線長公式沒有特殊的名稱。[5][2][7]在中國大陸,內角平分線長公式(i)被稱為「斯庫頓定理」,歸功於荷蘭數學家弗蘭斯·范斯霍滕英語Frans van Schooten[1][8][9]而在歐美,范斯霍滕定理英語Van Schooten's theorem指的是等邊三角形外接圓的一個性質,與三角形角平分線無關。[10]

參見

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 孫建斌. Schooten定理的证明. 數學教學研究. 1986, (1): 3-6. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 別列標爾金俄語Перепёлкин, Дмитрий Иванович. 初等几何学教程 上卷. 馬忠林 (譯). 北京: 高等教育出版社. 1955: 202-204. 
  3. ^ 3.0 3.1 Amarasinghe, G. W. I. S. On the standard lengths of angle bisectors and the angle bisector theorem (PDF). Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries. 2012, 1 (1): 15-27 [2023-06-24]. (原始內容存檔 (PDF)於2022-06-18) (英語). 
  4. ^ Heath, Thomas L. The Thirteen Books of Euclid's Elements (PDF) II. Cambridge: Cambridge University Press. 1908: 197 [2023-06-24]. (原始內容存檔 (PDF)於2022-02-02) (英語). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Hadamard, Jacques. Leçons de géométrie élémentaire (géométrie plane). Paris: Armand Colin et Cie. 1898: 122-125 (法語). 
  6. ^ The angle bisector. Formula 2. mathvox.com. [2023-06-24]. (原始內容存檔於2023-06-17) (英語). 
  7. ^ 7.0 7.1 Trigg, Charles W. Mathematical Quickies. New York: Dover Publications. 1985: 103 [1967]. ISBN 0-486-24949-2 (英語). 
  8. ^ 劉運誼. 斯库顿定理及其应用. 數學教學通訊. 1994, (6): 12+39. 
  9. ^ 黃家禮. 几何明珠. 北京: 科學普及出版社. 1997: 78. ISBN 7-110-03511-5. 
  10. ^ Raymond, Viglione. Proof Without Words: van Schooten's Theorem. Mathematics Magazine. 2016, 89 (2): 132 (英語).