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邏輯與

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邏輯數學中,邏輯合取邏輯與是一個二元邏輯運算符。如果其兩個變量的真值都為「真」,其結果為「真」,否則其結果為「假」。[1][2][3]

相關名稱

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基本符號:
英文名:logical conjunction
中文名:邏輯與,合取交集按位與邏輯乘與門,...
命題邏輯中的二元連接詞合取,是一個兩元算子,集合論中的交集算子,二進制中的邏輯乘算子,按位與(Bitwise AND),邏輯門中的「與」門(AND gate),程式語言中的&或and運算符等等。

基本定義

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邏輯與(logical conjunction)是兩個邏輯變量的一種運算,經常是兩個命題的運算。它滿足:若且唯若其兩個變量的真值都為真時,其結果為真。
邏輯與是個二元算子,運算結果取值為真的條件是,若且唯若兩個命題的取值都真時。命題是取值要麼是真要麼是假的二值語句,沒有第三種取值,或說值域為{真,假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的語句是猜想;既真又假,既不真又不假的語句是悖論。
複合命題,讀作A合取B,在GCT邏輯中,也叫聯言命題。也有稱為合取命題的。

A與B的真值表(也寫作AB(邏輯學),A && B(計算機科學),或AB(電子學))。

真值表:

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推理規則

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合成與分解規則

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合取引入規則

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合取引入規則(∧+)(conjunction introduction rule)或聯言推理的合成式,是經典邏輯中簡單且有效論證形式。這個論證形式有兩個前提,AB,可以直觀地推出他們的合取。

其形式如下:

A,
B.
因此AB.

形式化為:

下面的例子是滿足聯言推理的合成式的論證:

小橘子是正妹。
小橘子是車神。
因此小橘子是正妹也是車神。

另一個例子如下:

1小於2
6大於5
因此,1小於2,而且6大於5。

還有一個例子如下:

有一些PSPACE問題不是NL問題
有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題,而且有一些PSPACE問題不是NL問題

合取消去規則

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合取消去規則(∧-)(Conjunction elimination rule)或聯言推理的分解式,是另一個在經典邏輯中簡單且有效論證形式。從任何合取式中都可以直觀地推論出兩個前提中的任意一個。

其形式如下:

AB
因此A

...或者,

AB.
因此B.

邏輯運算符描述為,

形式化為:

或者,

例如:

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題,而且有一些PSPACE問題不是NL問題
因此有一些PSPACE問題不是NL問題

或者

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題,而且有一些PSPACE問題不是NL問題
因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題

另一個例子如下:

1小於2,而且6大於5。
因此1小於2。

或者

1小於2,而且6大於5。
因此6大於5。

還有一個例子如下:

小橘子是正妹也是車神。
因此小橘子是正妹。

或者

小橘子是正妹也是車神。
因此小橘子是車神。

性質

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邏輯與滿足以下性質:

  • 結合律:
  • 交換律:
  • 分配律:
  • 冪等律:
  • 單調性:
  • 保真性: 所有變量的真值皆為「真」的命題在邏輯與運算後的結果為真。
  • 保假性: 所有變量的真值皆為「假」的命題在邏輯與運算後的結果為假。

如果用二進制來表達真(1)和假(0),邏輯與運算與算術乘法運算一致。

計算機科學中的運用

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與門

位運算

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邏輯與常在位運算中使用,比如:

  • 0 and 0 = 0
  • 0 and 1 = 0
  • 1 and 0 = 0
  • 1 and 1 = 1
  • 1100 and 1010 = 1000

編程中的使用

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在高等計算機編程中,邏輯合取「與」通常由內置算符and或&號來表達。很多程式語言還提供與邏輯與相應的短路求值控制結構。

布爾「與」也在SQL的運算符中使用。有些數據庫區分大小寫,需要"AND"符號。

在計算機科學中,AND運算符可以用來構造位屏蔽,以選擇二進制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用來取二進制序列的第五位。

交集運算

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集合論中的運算是用邏輯與來定義的:xAB若且唯若(xA) ∧ (xB)。因此邏輯與有很多與交集運算相同的性質,諸如結合律,交換律,分配律,及德·摩根定律

註釋

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  1. ^ Comprehensive List of Logic Symbols. Math Vault. 2020-04-06 [2020-09-02]. (原始內容存檔於2021-05-13) (美國英語). 
  2. ^ Conjunction, Negation, and Disjunction. philosophy.lander.edu. [2020-09-02]. (原始內容存檔於2021-04-21). 
  3. ^ 2.2: Conjunctions and Disjunctions. Mathematics LibreTexts. 2019-08-13 [2020-09-02]. (原始內容存檔於2020-11-05) (英語). 

參見

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相關網頁

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template:Common logical symbols英語template:Common logical symbols