合数
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在数论中,合数(也称为合成数)是除了1和其本身外具有其他正因数的正整数[1][2]。依照定义,每一个大于1的整数若不是质数,就会是合数[3][4]。而1则被认为不是质数,也不是合数。
例如,整数14是一个合数,因为它可以被分解成。而整数2无法再找到本身和1以外的正因数,因此不是合数。
起初120个合数为: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, ...等等(OEIS数列A002808)。
每一个合数都可以写成二个或多个质数(不一定是相异质数)的乘积[2]。例如,合数299可以写成13 × 23,合数360可以写成23 × 32 × 5,而且若将质因数依大小排列后,此表示法是唯一的。这是算术基本定理[5][6][7][8]。
有许多的素性测试可以在不进行因数分解的情形下,判断一数字是质数还是合数。
性质
[编辑]- 所有大于2的偶数都是合数,也就是在正整数中除了2以外,其余数的个位数为0、2、4、6、8者均为合数。4为最小的合数。
- 每一合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积。(算术基本定理)
- 所有合数都有至少3个正因数,例如4有正因数1、2、4,6有正因数1、2、3、6。
- 对任一大于5的合数,。(威尔逊定理)
- 对于任意的正整数,都可以找到一个正整数,使得、、、…、都是合数。
合数的类型
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分类合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个可表示为两个质数之乘积的合数称为半质数,有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中,亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。对于后者,
(其中μ为默比乌斯函数且为质因数个数的一半),而前者则为
注意,对于质数,此函数会传回-1,且。而对于有一个或多个重复质因数的数字,。
另一种分类合数的方法为计算其正因数的个数。所有的合数都至少有三个正因数。一质数的平方,其正因数有。一数若有着比它小的整数都还多的正因数,则称此数为高合成数。另外,完全平方数的正因数个数为奇数个,而其他的合数则皆为偶数个。
还有一种将合数分类的方式,是检查其质因数是否都比特定数字大,或是比特定数字小。这些会称为光滑数或粗糙数。
脚注
[编辑]- ^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, pp. 23–24)
- ^ 2.0 2.1 Long (1972, p. 16)
- ^ Fraleigh (1976, pp. 198,266)
- ^ Herstein (1964, p. 106)
- ^ Fraleigh (1976, p. 270)
- ^ Long (1972, p. 44)
- ^ McCoy (1968, p. 85)
- ^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53)
参考文献
[编辑]- Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1
- Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016
- Long, Calvin T., Elementary Introduction to Number Theory 2nd, Lexington: D. C. Heath and Company, 1972, LCCN 77-171950
- McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68-15225
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R., Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN 77-81766
相关条目
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