信号处理领域中,梳状滤波器(英语:Comb filter,又称梳形滤波器)使一个信号与它的延时信号叠加,从而产生相位抵消。梳状滤波器的频率响应由一系列规律分布的峰组成,看上去与梳子类似。
离散时间系统中的梳状滤波器满足下式:
![{\displaystyle y[n]=ax[n]+bx[n-\tau ]+cy[n-\tau ]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b716e6ca7f74729befed6c7a39f873ded34337)
其中τ 是一个表示延时的常量。梳状滤波器也可以在连续时间系统上实现。它的频率响应为:
![{\displaystyle H(\omega )={\frac {a+be^{-i\omega \tau }}{1-ce^{-i\omega \tau }}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef06c11c6efce5d4245970b675bf12c02859f51b)
频谱中的梳状峰值是因为系统周期的不连续性(极点),极点的位置满足:
![{\displaystyle \cos(\omega \tau )={\frac {1+c^{2}}{2c}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e403433c0c04f09e14e560d9fee2eefc29031a6)
NTSC制式的电视信号解码器中以硬件(偶尔也有软件)实现了二维和三维梳状滤波器,以减轻杂色讯等效应。梳状滤波器也被应用在地面无线通信系统中。梳状滤波器可以产生回声效应,若将延时设置为几个毫秒,则将此滤波器加在音频信号上,就可以作为圆柱形谐振腔的模型。因为这种谐振腔能够放大与它宽度相关的驻波对应的频率分量。
梳状滤波器是一个线性时不变系统,因此指数函数是这一系统的特征函数。所以当输入信号x(n) 为指数函数的形式时
![{\displaystyle x(n)=e^{i\omega n}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6640670680a6ecf70a45739c45221a641bc2055e)
输出信号y(n) 的形式为:
![{\displaystyle y(n)=H(\omega )e^{i\omega n}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36dfe6a660311dbdbdd76897113b5296d41ed347)
代入上文中梳状滤波器频响满足的条件式,可得:
![{\displaystyle H(\omega )e^{i\omega n}=ae^{i\omega n}+be^{i\omega (n-\tau )}+cH(\omega )e^{i\omega (n-\tau )}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dcbf8bfabd37c520463c220de46bc5dd10aea0b)
![{\displaystyle H(\omega )e^{i\omega n}=ae^{i\omega n}+be^{-i\omega \tau }e^{i\omega n}+cH(\omega )e^{-i\omega \tau }e^{i\omega n}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08debfd55de60b94acd32b3d8f72c401bba2bb6b)
由于指数函数非零,因此有:
![{\displaystyle H(\omega )=a+be^{-i\omega \tau }+cH(\omega )e^{-i\omega \tau }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e56dabce2075e436a89b34e1e74c2b586a5474b)
解出
可得:
![{\displaystyle H(\omega )={\frac {a+be^{-i\omega \tau }}{1-ce^{-i\omega \tau }}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef06c11c6efce5d4245970b675bf12c02859f51b)