关于与“
函数极限”标题相近或相同的条目页,请见“
极限”。
![{\displaystyle x}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
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1 |
0.841471...
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0.1 |
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在数学中,函数极限(英语:Limit of a function)是微积分的一个基本概念。它描述函数在接近某一给定自变量时的特征。函数
于
的极限为
,直观上意为当
无限接近
时,
便无限接近
。
如果取
为"
与
差距的上限";类似地,取
为"
与
差距的上限",那根据直观,可以将函数极限定义为:
- 若对所有的
,存在
,使得对所有的
,只要
就有 ![{\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1033caa23176c4da8a3702c3a167ba9eff68646)
其中
是要确保
越来越小时,
也会越来越小;
是为了凸显
是逼近而非等于
,但对应的
是可以等于
的。
但对于实函数
逼近
时,考虑到
的部分;在
下是没有这样的
使得
且
的,但数值上
的确在
时很靠近
,也就是
的部分局限了定义能覆盖的范围。
上面的例子表明以
的变化去限制
的变化通常是很困难的,但如果反过来从
出发,去找怎样的
会让
与
的差距小于
,也就是从"若对所有的
存在
"出发的话,显然上面
的例子只要取
即可;而且在这个定义被满足的情况下,若进一步取
和
的最小值为
与
差距的上限,还是会有
,这样就可以用
控制
的变化,而满足"
趋近于
时
趋近于
"的直观想法。
但实际上无法确保对所有
,都有
使得
,所以定义函数极限之前必须要求
为
的极限点。但大部分的情况会退而求其次的假设存在
使得
在
都有定义,也就是存在
的去心邻域使
都有定义,这样的话
会自动成为
的极限点。
为实函数,
为
的极限点且
,若"对所有的
,存在
,使得对所有的
只要
就有
",或以正式的逻辑符号表述为
则以
表示,称
为实函数
于
的极限。
由于"无穷大"不能直接定义成定义域
的极限点,可以退而求其次假设"对所有的
存在
使得
"。也就是直观上可以用定义域
里的点去逼近"无穷大"。那在这种条件下,
,且若"对所有
,存在
,使得对所有的
只要
时,有
",或以正式的逻辑符号表述为
则称
为实函数
于正无穷大(
)的极限,记作
类似的,若假设"对所有的
存在
使得
",那在这种条件下,
,且若"对所有
,存在
,使得对所有的
只要
时,有
",或以正式的逻辑符号表述为
则称
为实函数
于负无穷大(
)的极限,记作
直观上来讲,从数线左边逼近或右边逼近应该会得到一样的极限,为了把这个概念推广,需要函数限制的极限(也就是缩小定义域后的极限):
上述定理的证明只须注意到
也必为
的极限点,然后把函数极限的定义展开,考虑到
,还有对
取
的和
取的
,那只要取
为
和
的最小值,对所有
就有
;反过来由原函数
推出
和
的状况是非常显然的。
若取
![{\displaystyle A={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\geq a{\big \}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474e8f9e22ee341c00dc0b358daa1c8be40a35eb)
![{\displaystyle B={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\leq a{\big \}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca5cd13b3c1b1c170c8e37a9c2998e58cf5439a)
如果假设
同时为
和
的极限点,那
和
显然符合上面定理的要求的,而这时
![{\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d48b4376c39a7d5a8d98fcc24ae2e1687f6aae4)
这个表达式会被别称为"
是实函数
于
的右极限",也可以用
表示。
类似的
![{\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018edaa63948b27a35ebad265d876da6d2fdf3e8)
这个表达式会被别称为"
是实函数
于
的左极限",也可以用
表示。
以下公式中,
。
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc041df26372ff15476ca43682f3b7c29167b243)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{a^{x}}}=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec92fa561376bbc447067f4f0d1056dafdf5565)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/735fb6b19b19a00de050863913f5607b9f7b7395)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff09f2ca4e0473a7f01404dcecb1ed2098a6325)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe541b605cbf245100a8ef5c8aec64fbfcf73bb)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e67d9f7e2588c9b3d418f1107e9ea27b8f330ed)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2fb52f5211c7b7aa69d9e75195afaab5b9d5b1)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62207145948c152e6f3bf15f9ce7779244ae1d89)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8702a06af2e36f48af157c5aca0b382cf4c25527)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38be7d3073e3ee91b5310a8f509dcfc6189916fb)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3f918bc0add21db397d84e40a7b033e3b1336e)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a32ef3d5fbd5df0406c68a2ad58e415ae641d4)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8886764acce409bb35d0520dffd94ff5f95c5ef5)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebef18cbb823fd24dfd2a483120fbe9ba418723)