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函数极限

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0.01 0.999983...
上表所示函数的图形,请注意在处取不到值。因为被零除,所以在这一点函数没有意义。

尽管函数的定义域中不包括“0”,但当无限接近于零时,就无限接近于 1,换句话说,接近于零时,的极限是 1。

数学中,函数极限(英语:Limit of a function)是微积分的一个基本概念。它描述函数在接近某一给定自变量时的特征。函数 的极限为 ,直观上意为当 无限接近 时, 便无限接近

正式定义

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动机

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如果取 为" 差距的上限";类似地,取 为" 差距的上限",那根据直观,可以将函数极限定义为:

若对所有的 ,存在 ,使得对所有的 ,只要 就有

其中 是要确保 越来越小时, 也会越来越小; 是为了凸显 是逼近而非等于 ,但对应的 是可以等于 的。

但对于实函数 逼近 时,考虑到 的部分;在 下是没有这样的 使得 的,但数值上 的确在 时很靠近 ,也就是 的部分局限了定义能覆盖的范围。

上面的例子表明以 的变化去限制 的变化通常是很困难的,但如果反过来从 出发,去找怎样的 会让 的差距小于 ,也就是从"若对所有的 存在 "出发的话,显然上面 的例子只要取 即可;而且在这个定义被满足的情况下,若进一步取 的最小值为 差距的上限,还是会有 ,这样就可以用 控制 的变化,而满足" 趋近于 趋近于 "的直观想法。

但实际上无法确保对所有 ,都有 使得 ,所以定义函数极限之前必须要求 极限点。但大部分的情况会退而求其次的假设存在 使得 都有定义,也就是存在 去心邻域使 都有定义,这样的话 会自动成为 的极限点。

自变量趋于有限值时函数的极限

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实函数 的极限点且 ,若"对所有的,存在,使得对所有的 只要 就有 ",或以正式的逻辑符号表述为

则以 表示,称 为实函数 的极限。

自变量趋于无穷大时函数的极限

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由于"无穷大"不能直接定义成定义域 的极限点,可以退而求其次假设"对所有的 存在 使得 "。也就是直观上可以用定义域 里的点去逼近"无穷大"。那在这种条件下,,且若"对所有 ,存在 ,使得对所有的 只要 时,有 ",或以正式的逻辑符号表述为

则称 为实函数 正无穷大 )的极限,记作 类似的,若假设"对所有的 存在 使得 ",那在这种条件下,,且若"对所有 ,存在 ,使得对所有的 只要 时,有 ",或以正式的逻辑符号表述为

则称 为实函数 负无穷大( 的极限,记作

制限极限

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直观上来讲,从数线左边逼近或右边逼近应该会得到一样的极限,为了把这个概念推广,需要函数限制的极限(也就是缩小定义域后的极限):

定理

同时为 极限点,则

等价于

上述定理的证明只须注意到 也必为 的极限点,然后把函数极限的定义展开,考虑到 ,还有对 的和 取的 ,那只要取 的最小值,对所有 就有 ;反过来由原函数 推出 的状况是非常显然的。

左右极限

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若取

如果假设 同时为 极限点,那 显然符合上面定理的要求的,而这时

这个表达式会被别称为" 是实函数 右极限",也可以用 表示。

类似的

这个表达式会被别称为" 是实函数 左极限",也可以用 表示。

常用公式

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有理函数

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以下公式中,

无理函数

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三角函数

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指数函数

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对数函数

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参考

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