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函數極限

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1 0.841471...
0.1 0.998334...
0.01 0.999983...
上表所示函數的圖形,請注意在處取不到值。因為被零除,所以在這一點函數沒有意義。

儘管函數的定義域中不包括「0」,但當無限接近於零時,就無限接近於 1,換句話說,接近於零時,的極限是 1。

數學中,函數極限(英語:Limit of a function)是微積分的一個基本概念。它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵。函數 的極限為 ,直觀上意為當 無限接近 時, 便無限接近

正式定義

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動機

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如果取 為" 差距的上限";類似地,取 為" 差距的上限",那根據直觀,可以將函數極限定義為:

若對所有的 ,存在 ,使得對所有的 ,只要 就有

其中 是要確保 越來越小時, 也會越來越小; 是為了凸顯 是逼近而非等於 ,但對應的 是可以等於 的。

但對於實函數 逼近 時,考慮到 的部分;在 下是沒有這樣的 使得 的,但數值上 的確在 時很靠近 ,也就是 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以 的變化去限制 的變化通常是很困難的,但如果反過來從 出發,去找怎樣的 會讓 的差距小於 ,也就是從"若對所有的 存在 "出發的話,顯然上面 的例子只要取 即可;而且在這個定義被滿足的情況下,若進一步取 的最小值為 差距的上限,還是會有 ,這樣就可以用 控制 的變化,而滿足" 趨近於 趨近於 "的直觀想法。

但實際上無法確保對所有 ,都有 使得 ,所以定義函數極限之前必須要求 極限點。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 使得 都有定義,也就是存在 去心鄰域使 都有定義,這樣的話 會自動成為 的極限點。

自變量趨於有限值時函數的極限

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實函數 的極限點且 ,若"對所有的,存在,使得對所有的 只要 就有 ",或以正式的邏輯符號表述為

則以 表示,稱 為實函數 的極限。

自變量趨於無窮大時函數的極限

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由於"無窮大"不能直接定義成定義域 的極限點,可以退而求其次假設"對所有的 存在 使得 "。也就是直觀上可以用定義域 裡的點去逼近"無窮大"。那在這種條件下,,且若"對所有 ,存在 ,使得對所有的 只要 時,有 ",或以正式的邏輯符號表述為

則稱 為實函數 正無窮大 )的極限,記作 類似的,若假設"對所有的 存在 使得 ",那在這種條件下,,且若"對所有 ,存在 ,使得對所有的 只要 時,有 ",或以正式的邏輯符號表述為

則稱 為實函數 負無窮大( 的極限,記作

制限極限

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直觀上來講,從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限,為了把這個概念推廣,需要函數限制的極限(也就是縮小定義域後的極限):

定理

同時為 極限點,則

等價於

上述定理的證明只須注意到 也必為 的極限點,然後把函數極限的定義展開,考慮到 ,還有對 的和 取的 ,那只要取 的最小值,對所有 就有 ;反過來由原函數 推出 的狀況是非常顯然的。

左右極限

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若取

如果假設 同時為 極限點,那 顯然符合上面定理的要求的,而這時

這個表達式會被別稱為" 是實函數 右極限",也可以用 表示。

類似的

這個表達式會被別稱為" 是實函數 左極限",也可以用 表示。

常用公式

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有理函數

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以下公式中,

無理函數

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三角函數

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指數函數

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對數函數

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參考

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