伊藤積分
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伊藤微積分(英語:Itō calculus)得名自日本數學家伊藤清,是將微積分的概念擴展到隨機過程中,像布朗運動(維納過程)就可以用伊藤微積分進行分析。主要應用在金融數學及隨機微分方程中。伊藤微積分的中心概念是伊藤積分,是將傳統的黎曼-斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中,隨機過程一方面是一個隨機變數,而且也是一個不可微分的函數。
藉由伊藤積分,可以將一個隨機過程(被積分函數)對另一個隨機過程(積分變數)進行積分。積分變數一般會布朗運動。從到的積分結果是一個隨機變數。此隨機變數定義為一特定隨機變數序列的極限(有許多等效的方式可建構上述的定義)。
伊藤積分是對半鞅X以及隨機過程H的積分
這裡X是布朗運動,或者更廣義地,是一個半鞅,H是一個適配於由X生成的篩選的,本地平方可積分的過程(Revuz & Yor 1999,Chapter IV)。布朗運動的路徑無法滿足應用於微積分標準技術的需求。特別地,其在任意點不可微,並且在每一個時間間隔都有無限變差。其結果是,無法用普通的方法定義積分(參考黎曼-斯蒂爾傑斯積分)。主要的創新是只要調配被積函數,就可以定義一個積分,不嚴格的講,即t時刻它的值僅僅依靠此時刻之前的可用信息。
伊藤過程的重要結果包括分部積分公式和伊藤引理,即變量公式的變形。這些由於二次方差項,都與標準微積分公式不同,
股票價格和其他可交易資產的價格可以通過隨機過程進行建模,例如布朗運動,或者,更經常的,幾何布朗運動(參見布萊克-舒爾斯模型)。然後,伊藤隨機積分代表,在時間t持有一定數量Ht的股票,對其進行連續交易的回報。這種情況下,調配H就相應於,在任何時候只使用可用信息的交易策略限制。這也阻止了通過高頻交易獲得無限收益的可能性:市場中每個上漲之前買入股票,每個下跌之前賣出股票。相似地,調配H的條件暗示,當作為黎曼和極限進行計算的時候,隨機積分不會收斂(Revuz & Yor 1999,Chapter IV)。
伊藤引理
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物理學家的伊藤積分
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有關條目
[編輯]參考資料
[編輯]- Revuz, Daniel; Yor, Marc, Continuous martingales and Brownian motion, Berlin: Springer, 1999, ISBN 3-540-57622-3
- Kleinert. Path integrals in Physics, Polymers, Financial Markets.
- Oksendal. Stochastic Differential Equations.
- Scott M. Applied Stochastic Processes.
- Karatzas, Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd Edition 1996