高德納箭號表示法(英語:Knuth's up-arrow notation)是種用來表示很大的整數的方法,由高德納於1976年設計。它的概念來自冪是重複的乘法,乘法是重複的加法。
乘法是重複的加法:
(有
個
)
冪是重複的乘法:
(有
個
)
於是高德納定義「雙箭號」運算符,作重複的冪運算,或稱迭代冪次:
(中文讀法為「b個a重冪」)
計算時是由右至左計的。
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2={^{2}3}=3^{3}=27}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51417469296eb854664b162b707c07dfd945a0d1)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b16467b67bd9019d03e49343c7ac47dceff25b8f)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4={^{4}3}=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136dfe2fbb5e04fab2717a85b391633ca3d9fae8)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5={^{5}3}=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}\approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ab1fc87a099e86127d25116a62ea45670414d3)
多於兩個箭號時,
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9543eebfa6b7e405d52a87afb428e416f7e2cf)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3={^{^{3}3}3}={^{7625597484987}3}={\begin{matrix}\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} \\7625597484987\end{matrix}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f459e11e5746a7677c1f7f94bf394fbcfedd8b30)
代表重複的冪,或迭代冪次,例如:
當b為變量或過大時,重複的冪可以如下表示:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657de5a64d016cd2169ad6846c8a6b2dcbb75509)
指數不只能解釋兩個箭號的運算,三個箭號也行。
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a70eaabc72563dabeabe62782e99d4be544355e)
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922c899759a120efddb490f09993589d713833af)
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a)]=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32e90a3840714218fc2c98933ebbb902b648be0)
再次的,當b為變量或過大時,三個箭號的運算可以如下表示:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9eaf431ae1e3ae43dccbf865766fd86f401ebc8)
四個箭號可以如下表示:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=a\uparrow \uparrow \uparrow a=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e683ab4cce0929b7aef693aee1b444492b30f6cc)
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)=\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4603f6cc23c2f05317976d8bf93bb55a4b0337)
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow [a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a)]=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df6d9a5ca9ab383bba9717d3779a64f11b2600a)
再次的一般化:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dbe7a05b2b86adcc384edb1349ea7d6f72bfa1a)
這種方法可以用來表示任何能夠用高德納箭號表示法表示的數,但是會變得相當麻煩。
若要用多個箭號時,可用↑n表示,但有些數還是大得連這種表示法也不夠用,例如葛立恆數。
這時可能用hyper運算符或康威鏈式箭號表示法方便一點。
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&{\mbox{hyper}}(a,n+2,b)&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662fafad9ccc9c24a4c06da32d1e46a43c559a0f)
對於整數
、非負整數
和正整數
:
![{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}1,\\a^{b},\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),\end{matrix}}\right.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847de422f7558c45472a505925ecac5e0bef4d33)
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若 ;
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若 ;
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其他。
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這個表示法符合向右結合律。