爱因斯坦-嘉当理论(英语:Einstein-Cartan theory)是理论物理学中将广义相对论延伸以正确处理自旋角动量。此理论以物理学家阿尔伯特·爱因斯坦以及埃利·嘉当(Élie Cartan)为名。
作为古典物理中的主要理论,广义相对论却有一个缺点:其无法描述“自旋轨道耦合”(spin-orbit coupling),亦即内禀角动量(intrinsic angular momentum)(自旋)与轨道角动量(orbital angular momentum)间的交换。存在有定量的理论证明,其显示:当物体具有自旋性质时,广义相对论必须要扩充成爱因斯坦-嘉当理论。
实验上的效应由于太小,目前尚无法观测得到。
该理论最早由埃利·嘉当(Élie Cartan)于 1922 年提出,并在随后的几年中得到了阐述。阿尔伯特爱因斯坦于 1928 年开始加入该理论,当时他试图将挠率与电磁场张量匹配作为统一场论的一部分,但没有成功。这一思路引导他得出了相关但不同的远程并行理论。
Dennis Sciama和Tom Kibble在20世纪60年代独立地重新审视了该理论,并于1976年发表了一篇重要评论。
爱因斯坦-嘉当理论在历史上一直被无扭转理论和布兰斯-迪克理论等其他替代理论所掩盖,因为扭转似乎以牺牲方程式的易处理性为代价,几乎没有增加预测的好处。由于爱因斯坦-嘉当理论是纯粹经典的,它也没有完全解决量子重力问题。在爱因斯坦-嘉当理论中,狄拉克方程式变得非线性。最近,人们对爱因斯坦-嘉当理论的兴趣已经转向宇宙学意义,最重要的是,避免了宇宙开始时的引力奇点。该理论被认为是可行的,并且仍然是物理学界的活跃话题。
该理论间接影响了圈量子重力(并且似乎也影响了扭量理论)。
广义相对论无法描述自旋轨道耦合的理由根源于黎曼几何,而广义相对论是建构于其上。在黎曼几何中,里奇曲率张量(Ricci curvature tensor)
必须是a与b对称的(亦即,
)。因此爱因斯坦曲率张量(Einstein curvature tensor)
定义为
![{\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd23e5f6d66bf7e7352ce9927acabcd2cdf7157)
也必须是对称的。在广义相对论中,爱因斯坦曲率张量为局域重力建构了模型,且其(透过重力常数的联系)等同于应力-能量张量或能量-动量张量
(此处我们将能量-动量张量表示为P,是因为广义相对论中常用来表示能量-动量张量的T在爱因斯坦-嘉当理论留给仿射扭率(affine torsion)。)爱因斯坦曲率张量的对称性强迫动量张量必须是对称的。然而,当自旋与轨道角动量进行交换时,根据角动量守恒的广义式,则知动量张量为不对称的。
- 自旋流(spin current)之散度——
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(T_{ab}-T_{ba}\right)=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb24186af0592c4451a79bfedb86219afb39623)
细节请参考自旋张量(spin tensor)条目。
因此广义相对论无法适当地为自旋轨道耦合建构模型。
于1922年,埃利·嘉当提出猜想认为广义相对论应该被延伸成包括仿射扭率(affine torsion),其允许里奇张量可以是不对称的。虽然自旋-轨道耦合是重力物理学中相对次要的现象,爱因斯坦–嘉当理论则相当重要,因为
- (1) 其显示出仿射理论,而非度规理论,对于重力能提供更好的描述;
- (2) 其解释仿射扭率的意义,在一些量子重力理论中自然出现;
- (3) 其将自旋诠释为仿射扭率,在几何意义上是时空介质(spacetime medium)之位错场(field of dislocations)的一项连续近似。
将黎曼几何扩充以包含了仿射扭率则称为黎曼-嘉当几何(Riemann–Cartan geometry)。
时空物理学的数学基础是仿射微分几何(affine differential geometry),其中我们赋予n维微分流形M 一项沿著M上路径对向量作平行移动的定律。(一微分流形的每个点,我们都有切向量所组成的一个线性空间,不过我们无法将向量移动到其他点,或是去比较M上位于不同两点上的向量。)平行移动保存了向量间的线性关系;也就是说,若两向量
与
在M上同一点,沿著一曲线被平行移动成为向量
与
,则两者的线性组合
+ ![{\displaystyle b{\vec {v}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f10bb1c797d3b4bdb73b9bcdceacf97ee370f27)
也平行移动为
+
。
仿射微分几何中的平行性(Parallelism)是路径相依(path-dependent)的;也就是说,如果沿著同起点与同终点之两相异路径平行移动一向量,在终点所得的结果向量一般来说是相异的。这样的差异本质上即为曲率的影响,而曲率在微分几何中是个中心概念。
用标架场
代替度规场
,我们可以得到用标架场
(仅考虑内禀坐标系变换是整体Lorentz变换)表示的两种等价形式的推广的爱因斯坦引力场运动方程为:
- (1)引力场运动方程第一形式:
![{\displaystyle {\frac {D{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}}{D{{x}^{\nu }}}}={\frac {16\pi G}{{c}^{4}}}{{P}^{(\alpha )\mu }}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064eaba8337a6fe19953ec0c40e95aa782a9d4aa)
- (2)引力场运动方程第二形式:
![{\displaystyle {{R}^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu \nu }}R+{\frac {1}{2}}\lambda _{(\alpha )}^{\nu }{\frac {DK_{}^{(\alpha )\mu \rho }}{D{{x}^{\rho }}}}={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{m}^{\nu \mu }-P_{gk}^{\nu \mu }\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e4f8dec2f6c5ee583f7b5cf340fcf846c05a68)
其中:
![{\displaystyle {{P}^{(\alpha )\mu }}=P_{m}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0375fa8817bef0036b0fc576d0765540bf5d0e4e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }+K_{}^{(\alpha )\mu \nu }\\&Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }={{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\left({{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }}\right)-2\left({{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }}\right)\\&K_{}^{(\alpha )\mu \nu }=\beta _{1}^{}{{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\beta _{2}^{}\left({{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }}\right)-2\beta _{3}^{}\left({{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }}\right)\\\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b05712c467b9eeb559ccc7e62023f8b54019c00)
![{\displaystyle P_{g}^{(\alpha )\mu }={\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}\left(-{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{Q}^{\lambda \mu \sigma }}+{\frac {1}{4}}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{Q}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu }\right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601276d347a1cb971be1ee43669b1c64455c009d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&P_{m}^{(\alpha )\mu }=-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta \left({{L}_{m}}{\sqrt {-g}}\right)}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}}=-{\frac {\delta {{L}_{m}}}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}}-{{L}_{m}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }}\\&\\\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575c9fd1852a12be8a3ff8c06ec631c2e2533b6b)
![{\displaystyle P_{gk}^{(\alpha )\mu }={\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}\left(-{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{K}^{\lambda \mu \sigma }}+{\frac {1}{4}}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{K}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu }\right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3001fb9bf152617f17abec819d89f13c13d6d985)
当
时,由引力场运动方程的第二形式得到爱因斯坦引力场运动方程:
爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾
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考虑电子与引力的作用时,我们需要引入标架仿射联络
。在黎曼时空中,存在关系式:
,标架场与标架仿射联络不独立。
因此,黎曼时空中的电子场、电磁场及引力场的运动才方程为:
(1)电子场运动方程:
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&i\hbar {{\gamma }^{\mu }}{{D}_{\mu }}\psi -mc\psi =0\\&i\hbar {{D}_{\mu }}{\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }}+mc{\bar {\psi }}=0\\\end{aligned}}\right.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e92f058990c3d08a637324f94ce53da6b9a785)
(2)电磁场运动方程:
![{\displaystyle {{D}_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8072c72c4243bf45ec345defbd10720796d0db)
(3)引力场运动方程:
![{\displaystyle {{R}^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu \nu }}R={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{\nu \mu }+P_{\gamma }^{\nu \mu }-{\frac {1}{2}}D_{\sigma }^{}{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\sigma }\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\lambda _{(\beta )}^{\mu }\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de6768b31542b6cb59e7c96effa1b40573071016)
根据电子场运动方程得到能量-动量流运动方程为:
![{\displaystyle {{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }+{\frac {1}{2}}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }s_{e}^{(\alpha \beta )\nu }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52432b92b05afcfe3128b6eca102134a4cb21ce)
根据引力场运动方程得到能量-动量流运动方程为:
![{\displaystyle {{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }-{\frac {1}{4}}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\nu }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1fe283824d1a02b4020e318cdd187130819784)
上述结果表明,从电子场运动方程得到的能量-动量流运动方程与从引力场运动方程得到的能量-动量流运动方程是不相容的。
在有挠时空中,标架场
与标架仿射联络
是独立的,标架场
描述时空的弯曲,标架仿射联络
描述时空的扭曲,并且有:
![{\displaystyle {{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+{\hat {\Gamma }}_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}\neq 0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d6a1a3419a3972cb4f8702fdb0cebdd27f89c2)
有挠时空中的引力场推广为引力-自旋场,因此简化形式的爱因斯坦-嘉当引力-自旋场的运动方程:
(1)电子场运动方程:
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\left(i\hbar {{\gamma }^{\mu }}D_{\mu }^{}\psi +i\hbar D_{\mu }^{}({{\gamma }^{\mu }}\psi )\right)-mc\psi =0\\&{\frac {1}{2}}\left(i\hbar D_{\mu }^{}{\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }}+i\hbar D_{\mu }^{}({\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }})\right)+mc{\bar {\psi }}=0\\\end{aligned}}\right.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34511f952f245ff3fe893f8ed52419636e536b0a)
(2)电磁场运动方程:
![{\displaystyle D_{\nu }^{}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f32ddb172c3e11bace305d1f4011e218dfa52b)
(3)自旋场运动方程:
![{\displaystyle D_{\nu }^{}{{R}^{(\alpha \beta )\mu \nu }}={\frac {8\pi \kappa }{{c}^{4}}}\left(s_{e}^{(\alpha \beta )\mu }+s_{g}^{(\alpha \beta )\mu }\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1fa6c19ca4812dbc11e21a2d5e94706cebb2b3)
(4)引力场运动方程:
a. 第一形式:
![{\displaystyle D_{\nu }^{}{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}={\frac {16\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }-{\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}{\bar {\beta }}\left(2{{\hat {R}}^{\mu (\alpha )}}-{\hat {R}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }}\right)\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fdc882cb162294dd993fc337f2f1cd1d42ec018)
b. 第二形式:
![{\displaystyle {\bar {\beta }}\left(R_{\nu }^{\mu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\nu }^{\mu }R\right)\lambda _{}^{(\alpha )\nu }+{\frac {1}{2}}\beta D_{\nu }^{}{{\bar {K}}^{(\alpha )\mu \nu }}={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{gk}^{(\alpha )\mu }\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4804b70c0391a405a51ca2fb94d7160360889c78)
可以证明上述运动方程是相容的,因此有挠时空的爱因斯坦-嘉当引力-自旋场理论消除了爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾。
- 解释宇宙加速膨胀
- 解释先锋异常
- 解释星系转动曲线
- 预言带电物体周围的引力异常
- 预言日月食的引力异常