愛因斯坦-嘉當理論(英語:Einstein-Cartan theory)是理論物理學中將廣義相對論延伸以正確處理自旋角動量。此理論以物理學家阿爾伯特·愛因斯坦以及埃利·嘉當(Élie Cartan)為名。
作為古典物理中的主要理論,廣義相對論卻有一個缺點:其無法描述「自旋軌道耦合」(spin-orbit coupling),亦即內稟角動量(intrinsic angular momentum)(自旋)與軌道角動量(orbital angular momentum)間的交換。存在有定量的理論證明,其顯示:當物體具有自旋性質時,廣義相對論必須要擴充成愛因斯坦-嘉當理論。
實驗上的效應由於太小,目前尚無法觀測得到。
該理論最早由埃利·嘉當(Élie Cartan)於 1922 年提出,並在隨後的幾年中得到了闡述。阿爾伯特愛因斯坦於 1928 年開始加入該理論,當時他試圖將撓率與電磁場張量匹配作為統一場論的一部分,但沒有成功。這一思路引導他得出了相關但不同的遠程並行理論。
Dennis Sciama和Tom Kibble在20世紀60年代獨立地重新審視了該理論,並於1976年發表了一篇重要評論。
愛因斯坦-嘉當理論在歷史上一直被無扭轉理論和布蘭斯-迪克理論等其他替代理論所掩蓋,因為扭轉似乎以犧牲方程式的易處理性為代價,幾乎沒有增加預測的好處。由於愛因斯坦-嘉當理論是純粹古典的,它也沒有完全解決量子重力問題。在愛因斯坦-嘉當理論中,狄拉克方程式變得非線性。最近,人們對愛因斯坦-嘉當理論的興趣已經轉向宇宙學意義,最重要的是,避免了宇宙開始時的重力奇異點。該理論被認為是可行的,並且仍然是物理學界的活躍話題。
該理論間接影響了圈量子重力(並且似乎也影響了扭量理論)。
廣義相對論無法描述自旋軌道耦合的理由根源於黎曼幾何,而廣義相對論是建構於其上。在黎曼幾何中,里奇曲率張量(Ricci curvature tensor)
必須是a與b對稱的(亦即,
)。因此愛因斯坦曲率張量(Einstein curvature tensor)
定義為
![{\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd23e5f6d66bf7e7352ce9927acabcd2cdf7157)
也必須是對稱的。在廣義相對論中,愛因斯坦曲率張量為局域重力建構了模型,且其(透過重力常數的聯繫)等同於應力-能量張量或能量-動量張量
(此處我們將能量-動量張量表示為P,是因為廣義相對論中常用來表示能量-動量張量的T在愛因斯坦-嘉當理論留給仿射扭率(affine torsion)。)愛因斯坦曲率張量的對稱性強迫動量張量必須是對稱的。然而,當自旋與軌道角動量進行交換時,根據角動量守恆的廣義式,則知動量張量為不對稱的。
- 自旋流(spin current)之散度——
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(T_{ab}-T_{ba}\right)=0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb24186af0592c4451a79bfedb86219afb39623)
細節請參考自旋張量(spin tensor)條目。
因此廣義相對論無法適當地為自旋軌道耦合建構模型。
於1922年,埃利·嘉當提出猜想認為廣義相對論應該被延伸成包括仿射扭率(affine torsion),其允許里奇張量可以是不對稱的。雖然自旋-軌道耦合是重力物理學中相對次要的現象,愛因斯坦–嘉當理論則相當重要,因為
- (1) 其顯示出仿射理論,而非度規理論,對於重力能提供更好的描述;
- (2) 其解釋仿射扭率的意義,在一些量子重力理論中自然出現;
- (3) 其將自旋詮釋為仿射扭率,在幾何意義上是時空介質(spacetime medium)之位錯場(field of dislocations)的一項連續近似。
將黎曼幾何擴充以包含了仿射扭率則稱為黎曼-嘉當幾何(Riemann–Cartan geometry)。
時空物理學的數學基礎是仿射微分幾何(affine differential geometry),其中我們賦予n維微分流形M 一項沿著M上路徑對向量作平行移動的定律。(一微分流形的每個點,我們都有切向量所組成的一個線性空間,不過我們無法將向量移動到其他點,或是去比較M上位於不同兩點上的向量。)平行移動保存了向量間的線性關係;也就是說,若兩向量
與
在M上同一點,沿著一曲線被平行移動成為向量
與
,則兩者的線性組合
+ ![{\displaystyle b{\vec {v}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f10bb1c797d3b4bdb73b9bcdceacf97ee370f27)
也平行移動為
+
。
仿射微分幾何中的平行性(Parallelism)是路徑相依(path-dependent)的;也就是說,如果沿著同起點與同終點之兩相異路徑平行移動一向量,在終點所得的結果向量一般來說是相異的。這樣的差異本質上即為曲率的影響,而曲率在微分幾何中是個中心概念。
用標架場
代替度規場
,我們可以得到用標架場
(僅考慮內稟坐標系變換是整體Lorentz變換)表示的兩種等價形式的推廣的愛因斯坦重力場運動方程式為:
- (1)重力場運動方程式第一形式:
![{\displaystyle {\frac {D{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}}{D{{x}^{\nu }}}}={\frac {16\pi G}{{c}^{4}}}{{P}^{(\alpha )\mu }}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064eaba8337a6fe19953ec0c40e95aa782a9d4aa)
- (2)重力場運動方程式第二形式:
![{\displaystyle {{R}^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu \nu }}R+{\frac {1}{2}}\lambda _{(\alpha )}^{\nu }{\frac {DK_{}^{(\alpha )\mu \rho }}{D{{x}^{\rho }}}}={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{m}^{\nu \mu }-P_{gk}^{\nu \mu }\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e4f8dec2f6c5ee583f7b5cf340fcf846c05a68)
其中:
![{\displaystyle {{P}^{(\alpha )\mu }}=P_{m}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0375fa8817bef0036b0fc576d0765540bf5d0e4e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }+K_{}^{(\alpha )\mu \nu }\\&Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }={{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\left({{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }}\right)-2\left({{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }}\right)\\&K_{}^{(\alpha )\mu \nu }=\beta _{1}^{}{{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\beta _{2}^{}\left({{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }}\right)-2\beta _{3}^{}\left({{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }}\right)\\\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b05712c467b9eeb559ccc7e62023f8b54019c00)
![{\displaystyle P_{g}^{(\alpha )\mu }={\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}\left(-{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{Q}^{\lambda \mu \sigma }}+{\frac {1}{4}}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{Q}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu }\right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601276d347a1cb971be1ee43669b1c64455c009d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&P_{m}^{(\alpha )\mu }=-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta \left({{L}_{m}}{\sqrt {-g}}\right)}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}}=-{\frac {\delta {{L}_{m}}}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}}-{{L}_{m}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }}\\&\\\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575c9fd1852a12be8a3ff8c06ec631c2e2533b6b)
![{\displaystyle P_{gk}^{(\alpha )\mu }={\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}\left(-{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{K}^{\lambda \mu \sigma }}+{\frac {1}{4}}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{K}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu }\right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3001fb9bf152617f17abec819d89f13c13d6d985)
當
時,由重力場運動方程式的第二形式得到愛因斯坦重力場運動方程式:
愛因斯坦重力理論與狄拉克電子理論之間的矛盾
[編輯]
考慮電子與重力的作用時,我們需要引入標架仿射聯絡
。在黎曼時空中,存在關係式:
,標架場與標架仿射聯絡不獨立。
因此,黎曼時空中的電子場、電磁場及重力場的運動才方程式為:
(1)電子場運動方程式:
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&i\hbar {{\gamma }^{\mu }}{{D}_{\mu }}\psi -mc\psi =0\\&i\hbar {{D}_{\mu }}{\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }}+mc{\bar {\psi }}=0\\\end{aligned}}\right.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e92f058990c3d08a637324f94ce53da6b9a785)
(2)電磁場運動方程式:
![{\displaystyle {{D}_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8072c72c4243bf45ec345defbd10720796d0db)
(3)重力場運動方程式:
![{\displaystyle {{R}^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu \nu }}R={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{\nu \mu }+P_{\gamma }^{\nu \mu }-{\frac {1}{2}}D_{\sigma }^{}{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\sigma }\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\lambda _{(\beta )}^{\mu }\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de6768b31542b6cb59e7c96effa1b40573071016)
根據電子場運動方程式得到能量-動量流運動方程式為:
![{\displaystyle {{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }+{\frac {1}{2}}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }s_{e}^{(\alpha \beta )\nu }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52432b92b05afcfe3128b6eca102134a4cb21ce)
根據重力場運動方程式得到能量-動量流運動方程式為:
![{\displaystyle {{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }-{\frac {1}{4}}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\nu }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1fe283824d1a02b4020e318cdd187130819784)
上述結果表明,從電子場運動方程式得到的能量-動量流運動方程式與從重力場運動方程式得到的能量-動量流運動方程式是不相容的。
在有撓時空中,標架場
與標架仿射聯絡
是獨立的,標架場
描述時空的彎曲,標架仿射聯絡
描述時空的扭曲,並且有:
![{\displaystyle {{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+{\hat {\Gamma }}_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}\neq 0}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d6a1a3419a3972cb4f8702fdb0cebdd27f89c2)
有撓時空中的重力場推廣為重力-自旋場,因此簡化形式的愛因斯坦-嘉當重力-自旋場的運動方程式:
(1)電子場運動方程式:
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\left(i\hbar {{\gamma }^{\mu }}D_{\mu }^{}\psi +i\hbar D_{\mu }^{}({{\gamma }^{\mu }}\psi )\right)-mc\psi =0\\&{\frac {1}{2}}\left(i\hbar D_{\mu }^{}{\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }}+i\hbar D_{\mu }^{}({\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }})\right)+mc{\bar {\psi }}=0\\\end{aligned}}\right.}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34511f952f245ff3fe893f8ed52419636e536b0a)
(2)電磁場運動方程式:
![{\displaystyle D_{\nu }^{}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f32ddb172c3e11bace305d1f4011e218dfa52b)
(3)自旋場運動方程式:
![{\displaystyle D_{\nu }^{}{{R}^{(\alpha \beta )\mu \nu }}={\frac {8\pi \kappa }{{c}^{4}}}\left(s_{e}^{(\alpha \beta )\mu }+s_{g}^{(\alpha \beta )\mu }\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1fa6c19ca4812dbc11e21a2d5e94706cebb2b3)
(4)重力場運動方程式:
a. 第一形式:
![{\displaystyle D_{\nu }^{}{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}={\frac {16\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }-{\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}{\bar {\beta }}\left(2{{\hat {R}}^{\mu (\alpha )}}-{\hat {R}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }}\right)\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fdc882cb162294dd993fc337f2f1cd1d42ec018)
b. 第二形式:
![{\displaystyle {\bar {\beta }}\left(R_{\nu }^{\mu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\nu }^{\mu }R\right)\lambda _{}^{(\alpha )\nu }+{\frac {1}{2}}\beta D_{\nu }^{}{{\bar {K}}^{(\alpha )\mu \nu }}={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{gk}^{(\alpha )\mu }\right)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4804b70c0391a405a51ca2fb94d7160360889c78)
可以證明上述運動方程式是相容的,因此有撓時空的愛因斯坦-嘉當重力-自旋場理論消除了愛因斯坦重力理論與狄拉克電子理論之間的矛盾。
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