態射
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態射(英語:Morphism)在數學中是指兩個數學結構之間保持結構的一種映射。
許多當代數學領域中都有態射的身影。例如,在集合論中,態射就是函數;在群論中,它們是群同態;而在拓撲學中,它們是連續函數;在泛代數(universal algebra)的範圍,態射通常就是同態。
對態射和它們定義於其間的結構(或對象)的抽象研究構成了範疇論的一部分。在範疇論中,態射不必是函數,而通常被視為兩個對象(不必是集合)間的箭頭。不像映射一個集合的元素到另外一個集合,它們只是表示域(domain)和陪域(codomain)間的某種關係。
儘管態射的本質是抽象的,多數人關於它們的直觀(事實上包括大部分術語)來自於具體範疇的例子,在那裡對象就是有附加結構的集合而態射就是保持這種結構的函數。
定義
[編輯]有兩個操作定義在每個態射上,域(domain,或源)和陪域(codomain,或目標)。
態射經常用從域到他們的陪域的箭頭來表示,例如若一個態射f域為X而陪域為Y,它記為f : X → Y。所有從X到Y的態射的集合記為homC(X,Y)或者hom(X, Y)。(有些作者採用MorC(X,Y)或Mor(X, Y))。
對於任意三個對象X,Y,Z,存在一個二元運算hom(X, Y)×hom(Y, Z) → hom(X, Z)稱為複合。f : X → Y和g : Y → Z的複合記為或gf(有些作者採用fg)。態射的複合經常採用交換圖來表示。例如
態射必須滿足兩條公理:
- 存在恆等態射:對於每個對象X,存在一個態射idX : X → X稱為X上的恆等態射,使得對於每個態射f : A → B我們有。
- 滿足結合律:在任何操作有定義的時候。
當C是一個具體範疇的時候,複合只是通常的函數複合,恆等態射只是恆等函數,而結合律是自動滿足的。(函數複合是結合的。)
注意域和陪域本身是決定態射的信息的一部分。例如,在集合的範疇,其中態射是函數,兩個函數可以作為有序對的集合相等,但卻有不同的陪域。這些函數從範疇論的目的來說被視為不同。因此,很多作者要求態射類hom(X, Y)是不交的。實際上,這不是一個問題,因為如果他們不是不交的,域和陪域可以加到態射上,(例如,作為一個有序三元組的第二和第三個分量),使得它們不交(互斥,disjoint)。
態射的類型
[編輯]- 同構(isomorphism):令f : X → Y為一個態射。若存在態射g : Y → X使得和成立,則f稱為一個同構。g稱為f的逆態射,逆態射g如果存在就是唯一的,而且顯而易見g也是一個同構,其逆為f。兩個對象之間有一個同構,那麼這兩個對象稱為同構的或者等價的。同構是範疇論中態射的最重要種類。[1][2]
- 滿同態(epimorphism):一個態射f : X → Y稱為一個滿同態,如果對於所有Y → Z的態射g1,g2 成立。這也稱為epi或epic.具體範疇中的滿同態通常是滿射(surjective)函數,雖然並不總是這樣。[3][2]
- 單同態(monomorphism):態射f : X → Y稱為單同態,如果對於所有Z → X的態射g1,g2,成立。它也稱為mono或者monic.具體範疇中的單同態通常為單射(injective)函數。[4][2]
- 雙同態(bimorphism):若f既是滿同態也是單同態,則稱f為雙同態(bimorphism)。
注意每個同構都是雙同態,但不是每個雙同態都是同構。例如,交換環的範疇中,包含映射Z → Q是一個雙同態,但不是一個同構。如果在一個範疇中每個雙同態都是同構,則這個範疇稱為一個平衡範疇。例如,集合是一個平衡範疇。
- 自同態(endomorphism):任何態射f : X → X稱為X上的一個自同態。
- 自同構(automorphism):若一個自同態也是同構的,那麼稱之為自同構。
- 若f : X → Y和g : Y → X滿足可是證明f是滿的而g是單的,而且 : X → X是冪等的。這種情況下,f和g稱為分割(split). f稱為g的收縮(retraction)而g稱為f的截面。任何既是滿同態又是分割單同態的態射,或者既是單同態又是分割滿同態的態射必須是同構。
例子
[編輯]- 在泛代數中研究的具體範疇(例如群,環,模,等等),態射稱為同態。術語同構,滿同態,單同態,自同態,和自同構也都適用於這個特殊範圍。
- 在拓撲空間範疇,態射是連續函數,而同構稱為同胚。
- 在光滑流形範疇中,態射是光滑函數而同構稱為微分同胚。
- 函子可以視為小範疇的範疇中的態射。
- 在函子範疇中,態射是自然變換。
更多的例子參看範疇論條目。
參看
[編輯]腳注
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