康托爾集
外觀
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Cantor-like_Column_Capital_Ile_de_Philae_Description_d%27Egypte_1809.jpg/220px-Cantor-like_Column_Capital_Ile_de_Philae_Description_d%27Egypte_1809.jpg)
在數學中,康托爾集(Cantor set)由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入[1][2](但由亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯在1875年發現[3][4][5][6]),是位於一條線段上的一些點的集合,具有許多顯著和深刻的性質。通過考慮這個集合,康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合,但是最常見的構造是康托爾三分點集,由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造,作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。
康托爾集的構造
[編輯]康托爾集是由不斷去掉線段的中間三分之一的開集而得出。首先從區間中去掉中間的三分之一,留下兩條線段:。然後,把這兩條線段的中間三分之一都去掉,留下四條線段:。康托爾集就是由所有過程中沒有被去掉的區間中的點組成。這個過程可以由遞歸的方法描述,首先令:
則第步遞歸得到的結果:
, 對於
所以:
, 對於 .
下面的圖顯示了這個過程的最初六個步驟。
參見
[編輯]註釋
[編輯]- ^ Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)],Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.
- ^ H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65.
- ^ Henry J.S. Smith (1875) 「On the integration of discontinuous functions.」 Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.
- ^ 「康托爾集」還由Paul du Bois-Reymond發現(1831–1889)。參見:Paul du Bois-Reymond (1880) 「Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung,」 Mathematische Annalen, vol. 16, pages 115–128的第128頁的腳註。「康托爾集」還由Vito Volterra在1881年發現(1860–1940)。參見:Vito Volterra (1881) 「Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue」 [Some observations on point-wise discontinuous functions],Giornale di Matematiche, vol. 19, pages 76–86.
- ^ José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.
- ^ Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos
- ^ Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.
- ^ Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.
參考文獻
[編輯]- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446 (See example 29).
- Gary L. Wise and Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2. (See chapter 1).
- cut-the-knot上的康托爾集 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- cut-the-knot上的康托爾集與函數 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
外部連結
[編輯]- Cantor Sets (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) and Cantor Set and Function (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) at cut-the-knot
|
|