数学中,体积形式提供了函数在不同坐标系(比如球坐标和圆柱坐标)下对体积积分的一种工具。更一般地,一个体积元是流形上一个测度。
在一个定向n-维流形上,体积元典型地由体积形式生成,所谓体积元是一个处处非零的n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的,而可定向流形有无穷多个体积形式(细节见下)。
有一个推广的伪体积形式概念,对无论可否定向的流形都存在。
许多类型的流形有典范的(伪)体积形式,因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形,一个带有全纯体积形式的凯勒流形是卡拉比-丘流形。
流形M上一个体积形式是处处非0的最高阶(n-维流形上的n-形式)微分形式。
用线丛的语言来说,称最高阶外积
为行列式线丛,n-形式是它的截面。
对不可定向流形,一个体积“伪”形式,也称为“奇”或“扭曲”的体积形式,可以定义为定向丛的一个处处非0截面;这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下,(非扭曲的)微分形式就是“偶” n-形式。除非特别地讨论扭曲形式时,我们总是略去形容词“偶”。
第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆。
一个流形具有体积形式当且仅当它可定向,这也可以作为可定向的一个定义。
在G-结构的语言中,一个体积形式是一个SL-结构。因为
是形变收缩(因为
,这里正实数视为纯量矩阵),一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个
-结构,即是一个定向。
在线丛的语言中,行列式丛
的平凡性等价于可定向性,而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面,这样又得到,体积形式的存在性等价于可定向性。
对于伪体积形式,一个伪体积形式是一个
-结构,因为
同伦等价(事实上是形变收缩),任何流形都有伪体积形式。类似地,定向丛总是平凡的,所以任何流形都有一个伪体积形式。
任何流形有一个伪体积形式,因为定向丛(作为线丛)是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式ω,密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。
任何伪体积形式ω(从而任何体积形式亦然)定义了一个波莱尔集合上一个测度:
![{\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c10601c86045b9ada6cf53a6a39f4d3e6fee13d7)
注意区别,在于任何一个测度可以在(Borel)子集上积分,而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中,写成
,将
视为体积形式而不是测度,
表明“在
上沿着定向相反的反向积分”,有时记成
。
进一步,一般的测度不必连续或光滑,他们不必由体积形式定义;或更形式地说,关于一个体积形式的Radon-Nikodym导数不必绝对连续。
任何李群,可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说,如果ωe 是
中一个元素,那么一个左不变形式可以定义为
,这里Lg为左平移。作为一个推论,任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的,相应的测度称为哈尔测度。
任何辛流形(或更确切地为殆辛流形)有一个自然的体积形式。如果M是一个带有辛形式ω的2n-维流形,那么由辛形式非退化可知ωn处处非零。作为一个推论,任何辛流形是可定向的(事实上,已经定向)。
任何黎曼流形(或伪黎曼流形)有一个自然的体积(或伪体积)形式。在局部坐标系下,能写成表达式:
![{\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780115fb8492577bfc6d54673fd86b4419595000)
这里流形为n-维,
是流形上度量张量行列式的绝对值,
为组成流形余切丛一组基的1形式。
这个体积形式有许多不同的记号,包括:
![{\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\epsilon =*(1).\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1738ada04d6ffd21c54336c9fd93c80c94057b)
这里∗是霍奇对偶,从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。
尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式,但是这个记法很难通用,符号ω在微分几何中经常有其它意思(比如辛形式),所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。
一个流形如果既是辛的又是黎曼的,如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。
体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入n-维欧几里得空间中的2-维曲面。考虑子集
,以及映射函数
![{\displaystyle \phi :U\to \mathbf {R} ^{n}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0f31dd4533e397108bb85491b99d7790538022)
定义了嵌入到
中的一个曲面。映射的雅可比矩阵为
![{\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{j}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a5b98f3842666319e2eece5a86531e3bd43f00)
指标i从1跑到n,j从1跑到2。n-维空间的欧几里得度量诱导了集合U上的一个度量,度量矩阵分量为:
![{\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{j}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb517d8bca90e70778bdbeadf67aadfdd94fedc)
度量的行列式由
![{\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \phi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \phi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c69491251bda88471b5bec20c9e20eb8e1cd680)
给出,这里
是楔积。对一个正则曲面,这个行列式不为0;等价地,雅可比矩阵的秩为2。
现在考虑U的一个坐标变换,由微分同胚
![{\displaystyle f\colon U\to U,\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3171a908a9fac229c75575b87ec35fb365482d)
给出。从而坐标
用
形式表示是
。坐标变换的雅可比矩阵为:
![{\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaedf76a6ba84afd83b4a124088346c6e327b7ab)
在新坐标系下,我们有:
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e99189aac29ae5e0438013c1eebc6a1e5923f6)
从而度量变换为:
![{\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa9ea68709e82ca4a2c07e801d581b4bf181752)
这里
是在v坐标系下的度量。行列式:
.
给出以上构造后,现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维,体积就是面积。子集
的面积由积分:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}du_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\det F\;dv_{1}dv_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}dv_{2}\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555ec6c41b9569edf25c6a15d21e02f9ed5b964c)
给出。从而,在任一坐标系下,体积都有相同的表达式,即这个表达式在坐标变换下是不变的。
注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性,以上结论可以平凡地推广到任意维数。
体积形式不是惟一的,它们以如下方式组成了流形上非0函数上的一个旋子。这是Radon–Nikodym定理的一个几何形式。
给定M上一个处处函数f,和一个体积形式
,
也是M上的体积形式。相反地,给定任何两个体积形式
,他们的比是一个处处非0函数(如果定向相同为正,定向相反为负)。
在坐标系中,他们都不过是一个处处非0函数乘以勒贝格测度,他们的比就是函数的比,这和坐标系的选取无关。本质上,这是
关于
的Radon–Nikodym导数。
一个体积形式没有局部结构:任何两个体积形式(在相同维数的流形上)是局部同构的。
正式地说,这个结论意味着给定任何两个同维数的流形
,分别具有体积形式
,对任何点
,存在一个映射
(这里
是
的一个邻域而
是
的一个邻域),使得N(限制在邻域
上)上的体积形式拉回到
(限制在邻域
)上的体积形式:
。给定维数的可微流形是局部微分同胚的;增添的判断标准是体积形式拉回到体积形式。
在1维情形,可以这样证明:给定
上一个体积形式
,定义
![{\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfdf339be05354fce5da735fd770f4959d8fb8c4)
那么标准勒贝格测度
通过f:
拉回到
,实际上,
。
高维数时,给定任何一点
,存在一个邻域局部同胚于
,我们可以进行相同的步骤。
连通流形M上一个体积形式有一个惟一的整体不变量,即总体积(记作
),在保持体积形式的映射下不变;总体积可能是无穷,比如
上的勒贝格测度。对于一个不连通流形,任何连通分支的体积是不变量。
用符号表示,如果
是流形的同胚,将
拉回到
,那么
![{\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d8b1575219198c6602c20bdece54ba904d81e8)
从而流形具有相同的体积。
体积形式也能在覆盖映射下拉回,在此情况下将体积乘以纤维的基数(形式地说,在纤维上积分)。在无穷重复盖(比如
),有限体积流形上的体积形式拉回到一个无穷体积流形上的体积形式。
反过来,于尔根·莫泽[1]的一个定理指出,对于连通紧流形上两个体积相等的体积形式
和
,存在一个流形的微分自同胚将
拉回到
,事实上存在由的流形成同痕。
- ^ 存档副本 (PDF). [2008-10-26]. (原始内容存档 (PDF)于2008-05-09).