數學中,體積形式提供了函數在不同坐標系(比如球坐標和圓柱坐標)下對體積積分的一種工具。更一般地,一個體積元是流形上一個測度。
在一個定向n-維流形上,體積元典型地由體積形式生成,所謂體積元是一個處處非零的n-階微分形式。一個流形具有體積形式若且唯若它是可定向的,而可定向流形有無窮多個體積形式(細節見下)。
有一個推廣的偽體積形式概念,對無論可否定向的流形都存在。
許多類型的流形有典範的(偽)體積形式,因為它們有額外的結構保證可選取一個更好的體積形式。在復情形,一個帶有全純體積形式的凱勒流形是卡拉比-丘流形。
流形M上一個體積形式是處處非0的最高階(n-維流形上的n-形式)微分形式。
用線叢的語言來說,稱最高階外積
為行列式線叢,n-形式是它的截面。
對不可定向流形,一個體積「偽」形式,也稱為「奇」或「扭曲」的體積形式,可以定義為定向叢的一個處處非0截面;這個定義同樣適用於定向流形。在這種看法下,(非扭曲的)微分形式就是「偶」 n-形式。除非特別地討論扭曲形式時,我們總是略去形容詞「偶」。
第一次明確地引入扭曲微分形式是德拉姆。
一個流形具有體積形式若且唯若它可定向,這也可以作為可定向的一個定義。
在G-結構的語言中,一個體積形式是一個SL-結構。因為
是形變收縮(因為
,這裡正實數視為純量矩陣),一個流形具有一個SL-結構若且唯若具有一個
-結構,即是一個定向。
在線叢的語言中,行列式叢
的平凡性等價於可定向性,而一個線叢是平凡的若且唯若它有一個處處非0的截面,這樣又得到,體積形式的存在性等價於可定向性。
對於偽體積形式,一個偽體積形式是一個
-結構,因為
同倫等價(事實上是形變收縮),任何流形都有偽體積形式。類似地,定向叢總是平凡的,所以任何流形都有一個偽體積形式。
任何流形有一個偽體積形式,因為定向叢(作為線叢)是平凡的。給定一個定向流形上的體積形式ω,密度 |ω| 是忘掉定向結構的非定向流形的一個偽體積形式。
任何偽體積形式ω(從而任何體積形式亦然)定義了一個波萊爾集合上一個測度:
![{\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c10601c86045b9ada6cf53a6a39f4d3e6fee13d7)
注意區別,在於任何一個測度可以在(Borel)子集上積分,而一個體積形式只能在一個「定向」胞腔上積分。在單變量微積分中,寫成
,將
視為體積形式而不是測度,
表明「在
上沿著定向相反的反向積分」,有時記成
。
進一步,一般的測度不必連續或光滑,他們不必由體積形式定義;或更形式地說,關於一個體積形式的Radon-Nikodym導數不必絕對連續。
任何李群,可以由平移定義一個自然的體積形式。這就是說,如果ωe 是
中一個元素,那麼一個左不變形式可以定義為
,這裡Lg為左平移。作為一個推論,任何李群都是可定向的。這個體積形式在相差一個常數的意義下是惟一的,相應的測度稱為哈爾測度。
任何辛流形(或更確切地為殆辛流形)有一個自然的體積形式。如果M是一個帶有辛形式ω的2n-維流形,那麼由辛形式非退化可知ωn處處非零。作為一個推論,任何辛流形是可定向的(事實上,已經定向)。
任何黎曼流形(或偽黎曼流形)有一個自然的體積(或偽體積)形式。在局部坐標系下,能寫成表達式:
![{\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780115fb8492577bfc6d54673fd86b4419595000)
這裡流形為n-維,
是流形上度量張量行列式的絕對值,
為組成流形餘切叢一組基的1形式。
這個體積形式有許多不同的記號,包括:
![{\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\epsilon =*(1).\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1738ada04d6ffd21c54336c9fd93c80c94057b)
這裡∗是霍奇對偶,從而最後一個形式∗(1)強調體積形式是流形上常數映射的霍奇對偶。
儘管希臘字母ω經常用於表示體積形式,但是這個記法很難通用,符號ω在微分幾何中經常有其它意思(比如辛形式),所以一個公式中的ω不一定就表示體積形式。
一個流形如果既是辛的又是黎曼的,如果流形是凱勒的那種方式定義的體積形式相等。
體積形式一個簡單的例子可以考慮嵌入n-維歐幾里得空間中的2-維曲面。考慮子集
,以及映射函數
![{\displaystyle \phi :U\to \mathbf {R} ^{n}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0f31dd4533e397108bb85491b99d7790538022)
定義了嵌入到
中的一個曲面。映射的雅可比矩陣為
![{\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{j}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a5b98f3842666319e2eece5a86531e3bd43f00)
指標i從1跑到n,j從1跑到2。n-維空間的歐幾里得度量誘導了集合U上的一個度量,度量矩陣分量為:
![{\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{j}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb517d8bca90e70778bdbeadf67aadfdd94fedc)
度量的行列式由
![{\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \phi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \phi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c69491251bda88471b5bec20c9e20eb8e1cd680)
給出,這裡
是楔積。對一個正則曲面,這個行列式不為0;等價地,雅可比矩陣的秩為2。
現在考慮U的一個坐標變換,由微分同胚
![{\displaystyle f\colon U\to U,\,\!}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3171a908a9fac229c75575b87ec35fb365482d)
給出。從而坐標
用
形式表示是
。坐標變換的雅可比矩陣為:
![{\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaedf76a6ba84afd83b4a124088346c6e327b7ab)
在新坐標系下,我們有:
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e99189aac29ae5e0438013c1eebc6a1e5923f6)
從而度量變換為:
![{\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa9ea68709e82ca4a2c07e801d581b4bf181752)
這裡
是在v坐標系下的度量。行列式:
.
給出以上構造後,現在可以直接理解為什麼體積在坐標變換下不變的。在2維,體積就是面積。子集
的面積由積分:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}du_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\det F\;dv_{1}dv_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}dv_{2}\end{aligned}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555ec6c41b9569edf25c6a15d21e02f9ed5b964c)
給出。從而,在任一坐標系下,體積都有相同的表達式,即這個表達式在坐標變換下是不變的。
注意到在以上表達式中2維並沒有任何特殊性,以上結論可以平凡地推廣到任意維數。
體積形式不是惟一的,它們以如下方式組成了流形上非0函數上的一個旋子。這是Radon–Nikodym定理的一個幾何形式。
給定M上一個處處函數f,和一個體積形式
,
也是M上的體積形式。相反地,給定任何兩個體積形式
,他們的比是一個處處非0函數(如果定向相同為正,定向相反為負)。
在坐標系中,他們都不過是一個處處非0函數乘以勒貝格測度,他們的比就是函數的比,這和坐標系的選取無關。本質上,這是
關於
的Radon–Nikodym導數。
一個體積形式沒有局部結構:任何兩個體積形式(在相同維數的流形上)是局部同構的。
正式地說,這個結論意味著給定任何兩個同維數的流形
,分別具有體積形式
,對任何點
,存在一個映射
(這裡
是
的一個鄰域而
是
的一個鄰域),使得N(限制在鄰域
上)上的體積形式拉回到
(限制在鄰域
)上的體積形式:
。給定維數的可微流形是局部微分同胚的;增添的判斷標準是體積形式拉回到體積形式。
在1維情形,可以這樣證明:給定
上一個體積形式
,定義
![{\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega }](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfdf339be05354fce5da735fd770f4959d8fb8c4)
那麼標準勒貝格測度
通過f:
拉回到
,實際上,
。
高維數時,給定任何一點
,存在一個鄰域局部同胚於
,我們可以進行相同的步驟。
連通流形M上一個體積形式有一個惟一的整體不變量,即總體積(記作
),在保持體積形式的映射下不變;總體積可能是無窮,比如
上的勒貝格測度。對於一個不連通流形,任何連通分支的體積是不變量。
用符號表示,如果
是流形的同胚,將
拉回到
,那麼
![{\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d8b1575219198c6602c20bdece54ba904d81e8)
從而流形具有相同的體積。
體積形式也能在覆蓋映射下拉回,在此情況下將體積乘以纖維的基數(形式地說,在纖維上積分)。在無窮重覆蓋(比如
),有限體積流形上的體積形式拉回到一個無窮體積流形上的體積形式。
反過來,于爾根·莫澤[1]的一個定理指出,對於連通緊流形上兩個體積相等的體積形式
和
,存在一個流形的微分自同胚將
拉回到
,事實上存在由的流形成同痕。
- ^ 存档副本 (PDF). [2008-10-26]. (原始內容存檔 (PDF)於2008-05-09).