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格尔丰德-施奈德常数

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2的次方
2的次方
命名
名称格尔丰德-施奈德常数
希尔伯特数[1]
识别
种类无理数
超越数
符号
位数数列编号OEISA007507
表示方式
2.6651441...
二进制10.101010100100011011100010
十进制2.665144142690225188650297
十六进制2.AA46E2F3FB0062E316C62EDE

格尔丰德-施奈德常数即为2的次方,其值为:

罗季翁·库兹明在1930年证明此数字是超越数[2]。 1934年苏联数学家亚历山大·格尔丰德和德国数学家西奥多·施耐德分别独立证明了更一般的格尔丰德-施奈德定理[3],因此证明格尔丰德-施奈德常数为超越数,也回答了希尔伯特第七问题

它的平方根

也是一个超越数。在无理数的无理数次方为有理数这个命题中,它可用来提供一个经典、简捷的证明。

无理数的无理数次方为有理数

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尽管已知 是超越数,自然也就会是无理数。但在不知道它是无理数的情况下,仍可以证明此事。

命题:在在 a, b 是无理数,使得 为有理数。

证明:

已知是无理数,考虑 ,它有可能是有理数,也可能是无理数。

  • 是有理数,即得证。
  • 是无理数,则

为有理数,得证。

希尔伯特第七问题

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希尔伯特的第七个问题是要证明(或找出反例),如果a是一个不等于0或1的代数数,b是一个无理代数数,则ab总是超越数。他给出了两个例子,其中一个就是

1919年,他发表了一个关于数论的演讲,谈到了三个猜想:黎曼猜想费马大定理的超越性。他对观众说,在你们还活着的时候肯定没人证明这三个猜想。[4]但这个数的超越性在1934年得出证明[5],当时希尔伯特还活着。

参见

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参考文献

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  1. ^ Courant, R.; Robbins, H., What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press: 107, 1996 
  2. ^ R. O. Kuzmin. On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. 1930, 7: 585–597. 
  3. ^ Aleksandr Gelfond. Sur le septième Problème de Hilbert. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. 1934, VII (4): 623–634 [2021-11-01]. (原始内容存档于2020-06-11). 
  4. ^ David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920.
  5. ^ Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert, Bull. Acad. Sci. URSS Leningrade 7, pp.623-634, 1934.