拓扑空间(英語:Topological space)是一种賦予「一點附近」這個概念的抽象数学结构;拓扑空间也是一个集合,其元素称为点,由此可以定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。
拓扑結構最實用的動機,在於怎麼去定義「一點的附近」,用以定義函數極限。
對於度量空间
內的任一點
,可定義中心為
,半徑為
的開球
![{\displaystyle B(x;r):=\left\{y\in M\,{\bigg |}\,d(x,\,y)<r\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8483cce9dd0086a14b0059e4f3c7d12e0d07c1b)
然後把開球視為點
附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的,那一般的「開放邊界區域」,應該是任取裡面的點
,都會有一個夠小的開球
完全落在這個區域裡,也就是說,可以定義
的開子集
為滿足如下條件的子集合
![{\displaystyle (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df1e7c4138acd0e1d56bd74390c2a16e778a3bd)
這樣定義的開集有一些有趣的性質:
(1) 任二開集的交集也是開集
任取兩個
的開子集
,若
,根據定義存在
使得
![{\displaystyle B(x;r_{1})\subseteq O_{1}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac6e77bc1e4397059ff1e3b3e62fae98c8fd61a)
![{\displaystyle B(x;r_{2})\subseteq O_{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bc79a59fe9d0568587499f154d6aabe552e8d6)
這樣若取
,則會有:
![{\displaystyle B(x;r)\subseteq O_{1}\cap O_{2}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73941eb5375c8659296db9385cf8b821cd15d89d)
也就是說,
也是個開集。
(2) 任意個開集的并集也會是開集
若
是一群開集所構成的集合,也就是說
![{\displaystyle \forall O\{(O\in {\mathfrak {A}})\Rightarrow (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd3babf9bfc7149ef75504cfd7e5f25e37d98d6)
如果取
![{\displaystyle a\in \bigcup {\mathfrak {A}}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042604dc8cf1bc7a52c627a0c770ebef19563da5)
換句話說:
![{\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {A}})\wedge (a\in O)\,]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d127abdfbe9d01690510688ebff1884d2dddc60)
這樣的話,顯然有
![{\displaystyle (\exists r>0)\left[\,B(a;r)\subseteq \bigcup {\mathfrak {A}}\,\right]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5940c2fc97d2d2883ac4f513bc5947674a456ed8)
所以
也會是一個開集。
以上的性質促使人們在不依託度量情況下,去定義一個描述「一點的附近」的結構,換句話說,去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合,任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。
上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間,因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3};右下角的集合也不是個拓撲空間,因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。拓扑结构一词涵盖了开集系,闭集系,邻域系,开核,閉包,导集,滤子等若干概念。可以从这些概念出发,给出若干种等价結構,但大部分書籍都以開集系為準。
根據定义动机一節可以作如下的定義:
的子集族
若滿足以下开集公理
正式定義
|
直觀解釋
|
|
本身和空集合也是開的
|
|
有限個開集的交集也是開的
|
|
任意個開集的併集也是開的
|
則称
为
的开集系(其中的元素称为开集)或拓扑,
則被稱為一拓扑空間,
內的元素
則称为拓扑空间
的点。
开集系的代號
是字母「O」的德文尖角體,取名自德语形容词「offen」(開的)。
从开集系出发定义其它概念:(
為
的子集)
- 闭集:若
是开集,則稱
是闭集。
- 邻域:若存在开集
使得
,則稱
是点
的邻域。
- 开核:
的開核(或內部)
定義為
內所有开集之并,也就是
![{\displaystyle A^{\circ }:=\bigcup \left\{O\in {\mathfrak {O}}\,{\big |}\,O\subseteq A\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57da939c5c520acb29fa07df97ed350c432c51c)
的子集族
若滿足如下闭集公理:
正式定義
|
直觀解釋
|
|
本身和空集合也是閉的
|
|
有限個閉集的併集是閉的
|
|
任意個閉集的交集是閉的
|
則称
为
的闭集系(其中的元素称为闭集)。
开集系的代號
是字母「 F」 的德文尖角體,取名自法语动词「fermer」(關閉)的过去分词「fermé」(封閉的)。
根據德摩根定理和量詞符號的意義,以下的子集族
![{\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {F}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-O\in {\mathfrak {F}}\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf925c5663001adfb6d3849befab81a5885d52e)
為开集系,類似地,對於開集系
,以下的子集族
![{\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\mathfrak {O}}=\left\{F\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,F-O\in {\mathfrak {O}}\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfb7dd3804353dc097d7a01018c0fc4c086b448)
為閉集系,所以閉集系跟拓扑是等價的結構。
从闭集系出发定义其它概念:(
為
的子集)
- 开集:
是闭集,則稱
是开集。
- 闭包:
的闭包
定義為包含A的所有闭集之交,也就是
![{\displaystyle {\overline {A}}:=\bigcap \left\{F\in {\mathfrak {F}}\,{\big |}\,A\subseteq F\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12fdaa4bce4931240462e3f8f650b78c5e41bcb8)
函数
(
指
的幂集的幂集,也就是由所有子集族所構成的集合)若對任意
满足如下邻域公理:
正式定義
|
直觀解釋
|
|
屬於 的任意元素( 裡的元素都是 的邻域)
|
|
的任二邻域的交集也是 的邻域
|
|
包含任何 的邻域的任意子集也是 的邻域
|
|
的每個邻域內有個 的邻域,使的大邻域都是小邻域裡面點的領域
|
这样任意
被称为
的邻域系,
裡的元素
則称为
的邻域。
換句話說,函數
将
的每个点
映射至
,而
則是所有
的邻域所構成的集族。
邻域系的代號
是字母「 U」 的德文尖角體,取名自德语动词「 umgeben」(環繞)的名詞化「Umgebung」(周圍、環境)。
若取以下的子集族
![{\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\forall x)\{\,(x\in O)\Rightarrow [\,O\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba84163b3755f9330d8ada26f1f8576ac2cc1aad)
因為
包含任意邻域,
本身顯然為任意
的領域,故
;另外空集合
沒有任何屬於它的點,所以根據實質條件的意義,
。
若取
,根據邻域公理的第二項有
;若取
,且
,那換句話說
![{\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\,]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2323f7a2783ddfb3aa77512e53d59a3e02e463eb)
這樣的話有
![{\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\wedge (O\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}})\,]}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c5ca73fe3b71ec39eeb47b36fec62eadff08c1)
那這樣根據邻域公理第三項,
,所以
的確是個開集合系。
類似地對於開集系
,若對任意
取
![{\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,\exists O[\,(O\in {\mathfrak {O}})\wedge (O\subseteq U)\wedge (x\in O)\,]\right\}}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adde38791e34fc2a4317b98901d3c9c55541f14)
那
也會符合上面四款邻域系公理(注意到第四項取
),所以對所有
定義了邻域系等同於定義了一個拓扑。
从邻域系出发定义其它概念:(
為
的子集)
- 开集:对任意
,有
,則稱
是开集。(開集本身是它所有点的邻域)
- 开核:
(開核裡的每一點,都有一個包含於
的領域。)
- 闭包:
。(閉包裡每一點的領域,都跟
有交集。)
的幂集
上的一元运算
(即将
的子集A映射为
的子集
)称为闭包运算(像称为原像的闭包)。当且仅当运算
满足下述的闭包公理:
- A1:
;
- A2:
;
- A3:
;
- A4:
。
集合
的闭包通常记为
。
从闭包出发定义其它概念:
- 从闭包定义闭集:
的子集
是闭集,当且仅当
。
- 从闭包定义开核:
的子集
的开核
。
- 从闭包定义邻域:
的子集
是点
的邻域,当且仅当
。
的幂集
上的一元运算
(即将
的子集A映射为
的子集
)称为开核运算(像称为原像的开核或内部)。当且仅当运算
满足如下开核公理:
- I1:
;
- I2:
;
- I3:
;
- I4:
。
集合
的开核通常记为
。
(显然,开核运算是闭包运算的对偶概念)。
从开核出发定义其它概念:
- 从开核定义开集:
的子集
是开集,当且仅当
。
- 从开核定义邻域:
的子集
是点
的邻域,当且仅当
。
- 从开核定义闭包:
的子集
的闭包
。
的幂集
上的一元运算
(即将
的子集
映射为
的子集
)称为导集运算(像称为原像的导集),当且仅当
满足以下导集公理:
- D1:
;
- D2:
;
- D3:
;
- D4:
![{\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)}](https://backend.710302.xyz/https/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c13ec81a57fdae7c78605caebbb6329568dc2c)
从导集出发定义其它概念:
- 从导集定义闭集:
的子集
是闭集,当且仅当
。
同一个全集可以拥有不同的拓扑,有些是有用的,有些是平庸的,这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑
的每一个开集都是拓扑
的开集时,称拓扑
比拓扑
更细,或称拓扑
比拓扑
更粗。
仅依赖于特定开集的存在而成立的结论,在更细的拓扑上依然成立;类似的,仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论,在更粗的拓扑上也依然成立。
最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑,最细的拓扑是离散拓扑,这两个拓扑都是平庸的。
在有些文献中,我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。
类似定义拓扑空间,连续映射也有基于开集,闭集,开核,闭包和邻域等概念的等价定义。
对任何闭集的原像是闭集。
- 对点
的任一邻域
,都存在点
的一个邻域
,使得
,则称
在点
连续,而连续映射即点点连续的映射。
- 对任一集合
,
成立。
- 对任一集合
,
成立。
拓扑空间作为对象,连续映射作为态射,构成了拓扑空间范畴,它是数学中的一个基础性的範疇。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法,激发和产生了整个领域的研究工作,包括同伦论、同调论和K-理论。
给定拓扑空间
,A是X的子集,有以下概念(继续使用上面的符号):
- 内部,内点
- A的开核o(A)又称为A的内部,其元素称为A的内点。
- 外部,外点
- X - c(A)称为A的外部,其元素称为A的外点。
- 边界,边界点
- c(A)∩c(X-A)称为A的边界,其元素称为A的边界点。
- 触点
- A的闭包c(A)中的点称为A的触点。
- 稠密性,稠密集
- 称A在X中是稠密的(或称稠密集),当且仅当c(A) = X。
- 边缘集
- 称A是X的边缘集,当且仅当X-A在X中是稠密的。
- 疏性,疏集
- 称A在X中是疏的(或称疏集),当且仅当c(A)是X中的边缘集。
- 第一范畴集,第二范畴集
- 称A是X中的第一范畴集,当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集,当且仅当A不是X中的第一范畴集。
- 聚点,导集
- X中的点x称为A的聚点,当且仅当x ∈ c(A - {x})(或者等价地,x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点)。A的所有聚点组成的集合称为A的导集。
- 孤立点
- A中的点x称为A的孤立点,当且仅当它不是A的聚点。
- 孤点集,离散集
- 称A为孤点集或离散集,当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。
- 自密集
- 称A为自密集,当且仅当A中的点都是A的聚点(等价地,A中没有A的孤立点)。
- 完备集
- 称A为完备集,当且仅当A等于其导集。
- 自密核
- A的最大自密子集称为A的自密核。
- 无核集
- 称A是无核集,当且仅当A的自密核是∅(或等价地,A的任意非空子集都含有孤立点)。
网的目的在推广序列及极限,网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在於以有向集合代替自然数集
。
空间
上的一个网
是从有向集合
映至
的映射。
若存在
,使得对每个
的邻域
都存在
,使得
,则称网
收敛至
。
几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性,请参阅主条目网
- 实数集R构成一个拓扑空间:全体开区间构成其上的一组拓扑基,其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并(开区间的数量可以是无穷多个,但进一步可以证明,所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并)。从许多方面来说,实数集都是最基本的拓扑空间,并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解;但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间,它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
- 更一般的,n维欧几里得空间Rn构成一个拓扑空间,其上的开集就由开球来生成。
- 任何度量空间都可构成一个拓扑空间,如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间,如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
- 任何局部域都自然地拥有一个拓扑,并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。
- 除了由全体开区间生成的拓扑之外,实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑(lower limit topology)。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑;在这种拓扑空间中,一个点列收敛于一点,当且仅当,该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
- 流形都是一个拓扑空间。
- 每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中,相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。
- 每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型,参见多胞形(Polytope)。
- 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的拓扑,这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。对Rn或者Cn来说,相应扎里斯基拓扑定义的闭集,就是由全体多项式方程的解集合构成。
- 线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。
- 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑,在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
- 任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中,只有常数列或者网是收敛的。
- 任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中,任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们,在某些極端情況下,一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
- 有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集,构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。
- 可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集,构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。
- 如果Γ是一个序数,则集合[0, Γ]是一个拓扑空间,该拓扑可以由区间(a, b]生成,此处a和b是Γ的元素。
- X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {∅, X} 會形成一個平庸拓扑。
- X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
- X = ℤ(整數集合)及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲,因為(例如)所有不包含零的有限集合的聯集是無限的,但不是 ℤ 的全部,因此不在 τ 內。
- 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
- 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
- 3个元素的集上总拓扑数只有29个。
- 4个元素的集上总拓扑数只有355个。
- n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中,不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明
3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类,具体如下:
- {∅, X}
- {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
- {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
- {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
- {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
- {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
- {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}
- 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑,子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
- 对任何非空的拓扑空间族,我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑,这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说,积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
- 商拓扑可以被如下地定义出来:若X是一个拓扑空间,Y是一个集合,如果f : X → Y是一个满射,那么Y获得一个拓扑;该拓扑的开集可如此定义,一个集合是开的,当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类,从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。
- Vietoris拓扑
依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。
以下假设X为一个拓扑空间。
详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式,请参照分离公理的历史。
- 拓扑不可区分性
- X中两个点x,y称为拓扑不可区分的,当且仅当如下结论之一成立:
- 对X中每个开集U,或者U同时包含x,y两者,或者同时不包含它们。
- x的邻域系和y的邻域系相同。
,且
。
- 可分的
- X称为可分的,当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。
- 第一可数
- X称为第一可数的,当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。
- 第二可数
- X称为第二可数的,当且仅当其拥有一个可数的基。
- 连通
- X称为连通的,当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。(或等价地,该空间的闭开集(既开又闭的集合)只有空集和全空间两者)。
- 局部连通
- X称为局部连通的,当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基,这个局部基由连通集构成。
- 完全不连通
- X称为完全不连通的,当且仅当不存在多于一个点的连通子集。
- 道路连通
- X称为道路连通的,当且仅当其任意两点x和y,存在从x到y的道路p,也即,存在一个连续映射p: [0,1] → X,满足p(0)= x 且p(1)= y。道路连通的空间总是连通的。
- 局部道路连通
- X称为局部道路连通的,当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基,这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的,当且仅当它是道路连通的。
- 单连通
- X称为单连通的,当且仅当它是道路连通且每个连续映射
都与常数映射同伦。
- 可缩
- X称为可缩的,当且仅当它同伦等价到一点。
- 超连通
- X称为超连通的,当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
- 极连通
- X称为极连通的,当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。
- 平庸的
- X称为平庸的,当且仅当其开集只有本身与空集。
(详细资料请参照紧集)
- 紧性
- X称为紧的,当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。
- 林德洛夫性质
- X称为拥有林德洛夫性质,当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。
- 仿紧
- X称为仿紧的,当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。
- 可数紧
- X称为可数紧的,当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。
- 列紧
- X称为可数紧的,当且仅当其任意点列都包含收敛子列。
- 伪紧
- X称为伪紧的,当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。
可度量性意味着可赋予空间一个度量,使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理,其中最著名的是Urysohn度量化定理:一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。
对於任一类代数结构,我们都可以考虑其上的拓扑结构,并要求相关的代数运算是连续映射。例如,一个拓扑群
乃是一个拓扑空间配上连续映射
(群乘法)及
(反元素),使之具备群结构。
同样地,可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间,使得加法与纯量乘法是连续映射,这是泛函分析的主题;我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。
结合拓扑与代数结构,往往可以引出相当丰富而实用的理论,例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中,人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论,并得到较简明的陈述;如数论中的局部域(一种拓扑域),伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑(一种特别的拓扑群),以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑(一种拓扑环)等等。
拓扑空间也可能拥有自然的序结构,例子包括:
- 谱空间(spectral space)上的序结构。
- 特殊化预序:定义
。常见於计算机科学。
n个元素的集上总拓扑数规律
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